人教A版 选修22 第2课时 导数的运算法则 学案.docx

第2课时 导数的运算法则学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数知识点一 和、差的导数已知f(x)x，g(x).q(x)f(x)g(x)，h(x)f(x)g(x)思考1 f(x)，g(x)的导数分别是什么？答案 f(x)1，g(x).思考2 试求yq(x)，yh(x)的导数并观察q(x)，h(x)与f(x)，g(x)的关系答案 y(xx)x，1.q(x)limx0 limx0 1.同理，h(x)1.q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和h(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差梳理 和、差的导数f(x)g(x)f(x)g(x)知识点二 积、商的导数(1)积的导数f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)cf(x)cf(x)(2)商的导数(g(x)0)(3)注意f(x)g(x)f(x)g(x)，.1若f(x)2x，则f(x)x2.( )2函数f(x)xex的导数是f(x)ex(x1)( )3当g(x)0时，.( )类型一 利用导数的运算法则求导例1 求下列函数的导数(1)y3x2xcos x；(2)ylg x；(3)y(x23)(exln x)；(4)yx2tan x；(5)y.考点 导数的运算法则题点 导数的运算法则解 (1)y6xcos xx(cos x)6xcos xxsin x.(2)y(lg x)(x2).(3)y(x23)(exln x)(x23)(exln x)2x(exln x)(x23)ex(x22x3)2xln xx.(4)因为yx2，所以y(x2)2x2x.(5)y.反思与感悟 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算跟踪训练1 求下列函数的导数(1)y；(2)y；(3)y(x1)(x3)(x5)考点 导数的运算法则题点 导数的运算法则解 (1)y23x1，y3x2.(2)方法一 y.方法二 y1，y.(3)方法一 y(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(2x4)(x5)(x1)(x3)3x218x23.方法二 y(x1)(x3)(x5)(x24x3)(x5)x39x223x15，y(x39x223x15)3x218x23.类型二 导数公式及运算法则的综合应用例2 (1)已知函数f(x)2xf(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；(2)设f(x)(axb)sin x(cxd)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f(x)xcos x.考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用解 (1)由题意得f(x)2f(1)，令x1，得f(1)2f(1)，即f(1)1.f(x)2x.f(e)2e2e，f(1)2，由f(e)f(1)2e20，得f(e)0)在xx0处的导数为0，那么x0等于( )aa baca da2考点 导数的运算法则题点 导数的运算法则答案 b解析 y，由xa20，得x0a.3若函数f(x)exsin x，则此函数图象在点(4，f(4)处的切线的倾斜角为( )a. b0 c钝角 d锐角考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 c解析 f(x)exsin xexcos x，f(4)e4(sin 4cos 4)4，sin 40，cos 40，f(4)0的解集为( )a(0，) b(1,0)(2，)c(2，) d(1,0)考点 导数的运算法则题点 导数的运算法则答案 c解析 f(x)x22x4ln x，f(x)2x20，整理得0，解得1x2.又x0，x2.5函数f(x)xcos xsin x的导函数是( )a奇函数b偶函数c既是奇函数又是偶函数d既不是奇函数，又不是偶函数考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 b解析 f(x)(xcos x)(sin x)cos xxsin xcos xxsin x.令f(x)xsin x，xr，则f(x)xsin(x)xsin xf(x)，f(x)是偶函数6设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a等于( )a2 b. c d2考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 d解析 y1，y，.a1，即a2.7在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f(x)x3ax2(a21)x1(ar)的导函数yf(x)的图象，则f(1)等于( )a. bc. d或考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 b解析 f(x)x22ax(a21)，导函数f(x)的图象开口向上，故其图象必为.由图象特征知f(0)0，且对称轴a0，a1，则f(1)11，故选b.二、填空题8设f(5)5，f(5)3，g(5)4，g(5)1，若h(x)，则h(5)_.考点 导数的运算法则题点 导数的运算法则答案 解析 由题意知f(5)5，f(5)3，g(5)4，g(5)1，h(x)，h(5).9已知某运动着的物体的运动方程为s(t)2t2(位移单位：m，时间单位：s)，则t1 s时物体的瞬时速度为_ m/s.考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 5解析 因为s(t)2t22t22t2，所以s(t)24t，所以s(1)1245，即物体在t1 s时的瞬时速度为5 m/s.10已知函数f(x)fcos xsin x，则f 的值为_考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 1解析 f(x)fsin xcos x，ff，得f1.f(x)(1)cos xsin x，f 1.11已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为_考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 xy10解析 点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点坐标为(x0，y0)又f(x)1ln x，解得x01，y00.切点坐标为(1,0)，f(1)1ln 11.直线l的方程为yx1，即xy10.12已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 8解析 由yxln x，得y1，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k2，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1.此切线与曲线yax2(a2)x1相切，消去y，得ax2ax20，所以a0且a28a0，解得a8.三、解答题13偶函数f(x)ax4bx3cx2dxe的图象过点p(0,1)，且在x1处的切线方程为yx2，求f(x)的解析式考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用解 f(x)的图象过点p(0,1)，e1.又f(x)为偶函数，f(x)f(x)故ax4bx3cx2dxeax4bx3cx2dxe.b0，d0.f(x)ax4cx21.函数f(x)在x1处的切线方程为yx2，切点坐标为(1，1)ac11.f(x)|x14a2c，4a2c1.a，c.函数f(x)的解析式为f(x)x4x21.四、探究与拓展14在等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)等于( )a26 b29c215 d212考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 d解析 f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa7)，f(0)a1a2a8(a1a8)484212.15设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用解 (1)由7x4y120，得yx3.当x2时，y，f(2)，又f(x)a，f(2)，由得解得故f(x)x.(2)设p(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知，曲线在点p(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点p(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 知识点 反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的”思考 本故事中王戎运用了什么论证思想？答案 运用了反证法思想梳理 (1)定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法(2)反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等1反证法属于间接证明问题的方法( )2反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理( )3反证法的实质是否定结论导出矛盾( )类型一 用反证法证明否定性命题例1 已知a，b，c，dr，且adbc1，求证：a2b2c2d2abcd1.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设a2b2c2d2abcd1.因为adbc1，所以a2b2c2d2abcdbcad0，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20.所以ab0，cd0，ad0，bc0，则abcd0，这与已知条件adbc1矛盾，故假设不成立所以a2b2c2d2abcd1.反思与感悟 (1)用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法(2)用反证法证明数学命题的步骤跟踪训练1 已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列，求证：，不成等差数列考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设，成等差数列，则2，4bac2.a，b，c成等比数列，b2ac，由得b，代入式，得ac2()20，ac，从而abc.这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，假设不成立故，不成等差数列类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题例2 a，b，c(0,2)，求证：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设(2a)b，(2b)c，(2c)a都大于1.因为a，b，c(0,2)，所以2a0,2b0,2c0.所以1.同理1，1.三式相加，得3，即33，矛盾所以(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.引申探究 已知a，b，c(0,1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.证明 假设(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于.a，b，c都是小于1的正数，1a,1b,1c都是正数.同理，.三式相加，得，即，显然不成立(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.反思与感悟 应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n1个p且q綈p或綈q 跟踪训练2 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb，得14b24ac0，24c24ab0，且34a24bc0.同向不等式求和，得4b24c24a24ac4ab4bc0，所以2a22b22c22ab2bc2ac0，所以(ab)2(bc)2(ac)20，所以abc.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证类型三 用反证法证明唯一性命题例3 求证：方程2x3有且只有一个根考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 2x3，xlog23.这说明方程2x3有根下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的假设方程2x3至少有两个根b1，b2(b1b2)，则3, 3，两式相除得1，b1b20，则b1b2，这与b1b2矛盾假设不成立，从而原命题得证反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性跟踪训练3 若函数f(x)在区间a，b上是增函数，求证：方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根，设，为其中的两个实根因为 ，不妨设，又因为函数f(x)在a，b上是增函数，所以f()f()这与假设f()0f()矛盾，所以方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根1证明“在abc中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )a三角形中至少有一个直角或钝角b三角形中至少有两个直角或钝角c三角形中没有直角或钝角d三角形中三个角都是直角或钝角考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 b2已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么直线c与b的位置关系为( )a一定是异面直线 b一定是相交直线c不可能是平行直线 d不可能是相交直线答案 c解析 假设cb，而由ca，可得ab，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线3用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中( )a有一个内角小于60 b每一个内角都小于60c有一个内角大于60 d每一个内角都大于60考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 b4用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则ab”时，应假设( )aa不垂直于c ba，b都不垂直于ccab da与b相交考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 d5用反证法证明：关于x的方程x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0，当a或a1时，至少有一个方程有实数根考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，得则解得ab”的反面是“ay或xy”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”其中正确的叙述有( )a0个 b1个 c2个 d3个考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 b解析 错，应为ab；对；错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；错，应为三角形至少有2个钝角5用反证法证明命题：“a，bn，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )aa，b都能被5整除ba，b都不能被5整除ca，b不都能被5整除da不能被5整除考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 b解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”6已知p3q32，证明：pq2.用反证法证明时，可假设pq2；若a，br，|a|b|2，故中的假设错误；对于，其假设正确，故选d.7设a，b，c都是正数，则三个数a，b，c( )a都大于2b至少有一个大于2c至少有一个不小于2d至少有一个不大于2考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 c解析 假设a2，b2，c2，则2；a2b22.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 10某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是_考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 甲解析 假如甲：我没有偷是真的，则乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；丁：我没有偷就是真的，与他们四人中有一人说真话矛盾假如甲：我没有偷是假的，则丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是