苏教版必修2 第1章 1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球 学案.docx

1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球学习目标1.认识圆柱、圆锥、圆台的结构特征.2.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构知识点一圆柱、圆锥、圆台的概念思考数学中常见的旋转体圆柱、圆锥、圆台是如何形成的？答案将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边，垂直于底边的腰所在的直线旋转一周后，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台梳理将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台如图所示：知识点二球思考球也是旋转体，它是由什么图形旋转得到的？答案以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体梳理球的结构特征球定义相关概念图形及表示球半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球球心：半圆的圆心，半径：半圆的半径，直径：半圆的直径如图可记作：球o知识点三旋转面与旋转体一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体1圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台()2夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱()3半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球()类型一旋转体的基本概念例1判断下列各说法是否正确：(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在的直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球解(1)错由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴(2)错直角梯形绕下底所在的直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的几何体，如图所示(3)正确(4)错应为球面反思与感悟(1)圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求(2)只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的说法的正误跟踪训练1下列说法正确的是_(填序号)以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180形成的曲面围成的几何体是圆锥；球面上四个不同的点一定不在同一平面内；球面上任意三点可能在一条直线上答案解析以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；以直角梯形垂直于底边的一腰所在的直线为轴旋转一周才可以得到圆台；它们的底面为圆面；正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故错误；球面上任意三点一定不共线，故错误类型二旋转体中的有关计算例2一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4 cm2和25 cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长解(1)圆台的轴截面是等腰梯形abcd(如图所示)由已知可得o1a2 cm，ob5 cm.又由题意知腰长为12 cm，所以高am3(cm)(2)如图所示，延长ba，oo1，cd，交于点s，设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，则由sao1sbo，可得，解得l20.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.反思与感悟用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解跟踪训练2圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比解将圆台还原为圆锥，如图所示o2，o1，o分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，v是圆锥的顶点，令vo2h，o2o1h1，o1oh2，则所以即h1h221.类型三复杂旋转体的结构分析例3直角梯形abcd如图所示，以da所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状解以ad为轴旋转可得到一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示引申探究若本例中直角梯形分别以ab，bc所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状解以ab为轴旋转可得到一个圆台，如图所示以bc为轴旋转可得一个圆柱和一个圆锥的组合体如图所示反思与感悟(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状跟踪训练3如图所示，已知在梯形abcd中，adbc，且adbc.当梯形abcd绕ad所在直线旋转一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征解如图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体1下列说法正确的是_(填序号)圆锥的母线长等于底面圆的直径；圆柱的母线与轴平行；圆台的母线与轴平行；球的直径必过球心答案解析圆锥的母线长与底面圆的直径无联系；圆台的母线与轴不平行2可以通过旋转得到下图的平面图形的序号为_答案3一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30，则圆锥的高为_cm.答案10解析h20cos 3010 (cm)4下列说法正确的有_个球的半径是球面上任意一点与球心的连线；球的直径是球面上任意两点间的线段；用一个平面截一个球，得到的是一个圆；用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面答案2解析是正确的；是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；是错误的；是正确的5一个有30角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180得到什么图形？旋转360又得到什么图形？考点圆锥的结构特征题点圆锥的概念的应用解图(1)，(2)旋转一周得到的几何体是圆锥；图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体；图(4)旋转180是两个半圆锥的组合体，旋转360，旋转轴左侧的直角三角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直角三角形旋转得到的圆锥内1圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示2处理台体问题常采用还台为锥的补体思想3处理组合体问题常采用分割思想4重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.一、填空题1下列说法正确的是_(填序号)一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成；一个圆台可以由两个圆台拼合而成；一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成；一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成答案解析用一个平行于底面的平面去截台体，就会得到两个台体，因此一个圆台可以由两个圆台拼合而成，一个四棱台也可以由两个四棱台拼合而成，故的说法是正确的；若在三棱锥的底面两边上任找两点，过这两点和三棱锥的顶点的截面，就会把三棱锥分成一个三棱锥和一个四棱锥，因此一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成，故的说法是正确的2下列说法中正确的是_(填序号)将正方形旋转不可能形成圆柱；夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；通过圆台侧面上一点，有无数条母线答案解析将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以错误；中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以错误，故答案为.3若一个圆锥的轴截面是等边三角形，面积为，则这个圆锥的母线长为_答案2解析设母线长为x，则x2，故x2.4一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是_(填序号)答案解析当截面平行于正方体的一个侧面时可截得，当截面过正方体对角面时可截得，当截面不平行于任何侧面也不过对角面时可截得，但无论如何都不能得出.5正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是_答案两个圆锥解析连结正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线所在直线旋转一周形成两个底面相同的圆锥6将边长为4 cm和8 cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为_ cm2.答案解析当以4 cm为母线长时，设圆柱底面半径为r，则2r8，2r，s轴截面4(cm)2.当以8 cm为母线长时，设圆柱底面半径为r，则2r4,2r，s轴截面8(cm)2.综上，圆锥的轴截面的面积为 cm2.7已知圆台两底面的半径分别是2 cm和5 cm，母线长是3 cm，则它的轴截面的面积是_ cm2.答案63解析如图所示，作出轴截面，过点a作ambc于m，则bm523(cm)，am9(cm)，s梯形abcd(410)963(cm2)8若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的高为_考点圆锥的结构特征题点与圆锥有关的运算答案解析由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，因为4l2，所以母线长为l2，又半圆的弧长为2，圆锥的底面的周长为2r2，所以底面圆半径为r1，所以该圆锥的高为h .9如图中的组合体的结构特征有以下几种说法：由一个长方体割去一个四棱柱构成；由一个长方体与两个四棱柱组合而成；由一个长方体挖去一个四棱台构成；由一个长方体与两个四棱台组合而成其中说法正确的序号是_考点简单组合体的结构特征题点与拼接、切割有关的组合体答案10如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是_答案解析由于截面平行于圆锥的轴或过圆锥的轴，故只能是.11边长为5 cm的正方形efgh是圆柱的轴截面，则从e点沿圆柱的侧面到相对顶点g的最短距离是_ cm.答案解析圆柱的侧面展开图如图所示，展开后ef2(cm)，所以eg (cm)二、解答题12.如图所示，直角梯形abcd中，abbc，绕着cd所在直线l旋转，试画出立体图并指出几何体的结构特征解如图，过a，b分别作ao1cd，bo2cd，垂足分别为o1，o2，则rtcbo2绕l旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥，直角梯形o1abo2绕l旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆台，rtado1绕l旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥综上，所得几何体下面是一个圆锥，上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥(如图所示)13圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm，母线长ab20 cm，从圆台母线ab的中点m拉一条绳子绕圆台侧面转到点a，求：(1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离解(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中am的长度，设obl，则l25，(l20)210，解得，l20 cm.oa40 cm，om30 cm.am50(cm)即绳子最短长度为50 cm.(2)作oqam于点q，交弧bb于点p，则pq为所求的最短距离oaomamoq，oq24 c