人教A版选修21 3.2立体几何中的向量方法（三） 教案.docxVIP

3.2立体几何中的向量方法（三）教学目标 1.知识与技能(1)理解直线与平面所成角的概念(2)能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角求法问题(3)体会空间向量解决立体几何问题的三步曲2过程与方法经历规律方法的形成推导过程、解题的思维过程，体验向量的指导作用3情感、态度与价值观通过学习向量及其运算由平面向空间推广的过程，逐步认识向量的科学价值、应用价值和文化价值，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心教学重点：向量法求解线线、线面、面面的夹角教学难点：线线、线面、面面的夹角与向量夹角的关系空间角的向量求法问题导思1空间中两条异面直线所成角的范围是多少？【答案】(0，2直线与平面的夹角是怎样定义的？夹角的范围是多少？【答案】平面外一条斜线与它在该平面内的射影所成的角叫斜线与平面所成的角，其取值范围为0，3怎样作出二面角l的平面角？其平面角的取值范围是多少？【答案】在二面角l的棱l上任取一点o，在两半平面内分别作射线oal，obl，则aob就是二面角l的平面角它的取值范围是0，.角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角设l1与l2的方向向量为a，b，则cos |cosa，b|(0，直线l与平面所成的角设l的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin |cosa，n|0，二面角l的平面角设平面，的法向量为n1，n2，则|cos |cosn1，n2|0，课堂探究求异面直线所成的角例1如图3217，在三棱锥vabc中，顶点c在空间直角坐标系的原点处，顶点a，b，v分别在x轴、y轴、z轴上，d是线段ab的中点，且acbc2，vdc.当时，求异面直线ac与vd所成角的余弦值图3217解由于acbc2，d是ab的中点，所以c(0,0,0)，a(2,0,0)，b(0,2,0)，d(1,1,0)当时，在rtvcd中，cd，v(0,0，)，(2,0,0)，(1,1，)，cos，.异面直线ac与vd所成角的余弦值为.变式训练在长方体abcda1b1c1d1中，已知dadc4，dd13，求异面直线a1b与b1c所成角的余弦值解以d为坐标原点，分别以da，dc，dd1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，则a1(4,0,3)，b(4,4,0)，b1(4,4,3)，c(0,4,0)，得(0,4，3)，(4,0，3)设与的夹角为，则cos ，故与的夹角的余弦值为，即异面直线a1b与b1c所成角的余弦值为.求线面角例2如图3218所示，三棱锥pabc中，pa平面abc，abac，paacab，n为ab上一点，ab4an，m，s分别为pb，bc的中点(1)证明：cmsn；(2)求sn与平面cmn所成角的大小图3218解设pa1，以a为原点，射线ab，ac，ap分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系(如图)则p(0,0,1)，c(0,1,0)，b(2,0,0)，又anab，m、s分别为pb、bc的中点，n(，0,0)，m(1,0，)，s(1，0)，(1)(1，1，)，(，0)，(1，1，)(，0)0，因此cmsn.(2)(，1,0)，设a(x，y，z)为平面cmn的一个法向量，a0，a0.则取y1，则得a(2,1，2)因为cosa，.a，.所以sn与平面cmn所成角为.变式训练如图3219，正方体abcda1b1c1d1中，e是c1c的中点，求be与平面b1bdd1所成角的余弦值图3219解如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则b(2,2,0)，b1(2,2,2)，e(0,2,1)，(2，2,0)，(0,0,2)，(2,0,1)(2,2,0)即平面b1bdd1的一个法向量，设n(1,1,0)cosn，.设be与平面b1bd所成角为，cos sinn，即be与平面b1bd所成角的余弦值为.求二面角例3如图3220，若正方形acde所在的平面与平面abc垂直，m是ce和ad的交点，acbc，且acbc，求二面角aebc的大小图3220解四边形acde是正方形，eaac.又平面acde平面abc，ea平面abc.以点a为坐标原点，以过a点平行于bc的直线为x轴，分别以直线ac，ae为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系axyz.设eaacbc2，则a(0,0,0)，b(2,2,0)，c(0,2,0)，e(0,0,2)m是正方形acde的对角线的交点，m(0,1,1)设平面eab的法向量为n(x，y，z)，则n且n，从而有n0且n0.又(0,0,2)，(2,2,0)，即取y1，则x1，则n(1，1,0)又为平面ebc的一个法向量，且(0,1,1)，cosn，.设二面角aebc的平面角为，则cos ，即60.故二面角aebc为60.变式训练已知正三棱柱abca1b1c1的各条棱长均为a，d是侧棱cc1的中点，求平面ab1d与平面abc所成二面角(锐角)的大小图3221解以b为原点，过点b与bc垂直的直线为x轴，bc所在的直线为y轴，bb1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则b(0,0,0)，c(0，a,0)，b1(0,0，a)，c1(0，a，a)，a(a，0)，a1(a，a)，d(0，a，)故(a，a)，(0，a，)设平面ab1d的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，即得xy，z2y.取y1，则n(，1,2)平面abc的法向量是(0,0，a)，二面角的余弦值为cos .平面ab1d与平面abc所成二面角(锐角)的大小为.课堂检测1若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150，则l1与l2所成的角为()a30b150c30或150 d以上均不对【解析】l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为(0，应选a.【答案】a2已知向量m，n分别是直线l与平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()a30 b60c150 d120【解析】设l与所成的角为，则sin |cosm，n|，60，应选b.【答案】b3已知平面的法向量u(1,0，1)，平面的法向量v(0，1,1)，则平面与所成的二面角的大小为_【解析】cosu，v，u，v，而所成的二面角可锐可钝，故也可以是.【答案】或4如图3222直三棱柱abca1b1c1中，acb90，acbc1，cc12，求直线a1b与平面bb1c1c所成角的正弦值图3222解 以ca，cb，cc1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则b(0,1,0)，c1(0,0,2)，a1(1,0,2)则(1,1，2)，平面bb1c1c的法向量n(1,0,0)设直线a1b与平面bb1c1c所成角为，与n的夹角为，则cos ，sin |cos |