人教A版选修21 3.1.5空间向量运算的坐标表示 教案.docx

3.1.5空间向量运算的坐标表示教学目标 1.知识与技能掌握空间向量的坐标运算规律、平行向量坐标表示2过程与方法通过空间坐标系的建立和空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉类比、由一般到特殊、由直觉猜想到推理论证等思维方法，提高学生的科学思维素养3情感、态度与价值观通过教师的引导、学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦教学重点：体会空间直角坐标系，空间点的坐标，学会空间向量的坐标表示与运算教学难点：空间向量坐标的确定，掌握空间向量模、夹角等的计算空间向量线性运算的坐标表示问题导思1已知向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，如何表示ab，ab，a?【答案】ab(a1b1，a2b2)，ab(a1b1，a2b2)，a(a1，a2)2如果ab(b0)，则a、b坐标满足什么关系？【答案】aba1b1，a2b2.空间向量线性运算的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)ab(a1b1，a2b2，a3b3)；(2)ab(a1b1，a2b2，a3b3)；(3)a(a1，a2，a3)(r)；(4)b0，ababa1b1，a2b2，a3b3.空间向量数量积的坐标表示及夹角公式问题导思1已知向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，如何用坐标表示ab?【答案】aba1b1a2b2.2用向量的数量积运算还能解决向量中的哪些方面的问题？【答案】求向量的模、夹角等若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)ab_a1b1a2b2a3b3；(2)|a|；(3)a0，b0，cosa，b；(4)a0，b0，abab0a1b1a2b2a3b30.空间中两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则(1)(a2a1，b2b1，c2c1)；(2)dab|.例题解析例1如图, 在正方体中， ，求与所成的角的余弦值.解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则例2 如图，正方形abcd-a1b1c1d1中，ef分别是bb1，d1b1的中点，求证efda1.证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以 ， 为单位正交基底，建立空间直角坐标系dxyz，则，所以.又，所以所以，因此，即.课堂检测一、选择题1已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则b()a(2，4,2)b(2,4，2)c(2,0，2) d(2,1，3)【解析】ba(1,2，1)(1，2,1)(1,2，1)(2，4,2)【答案】a2设a(3,3,1)，b(1,0,5)，c(0,1,0)，则ab的中点m到点c的距离|cm|的值为()a.b.c.d.【解析】ab的中点m(2，3)，(2，3)，故|cm| .【答案】c3已知向量a(2，x,2)，b(2,1,2)，c(4，2,1)，若a(bc)，则x的值为()a2 b2c3 d3【解析】bc(2,3,1)，a(bc)43x20，x2.【答案】a4点a(n，n1,2n)，b(1，n，n)，则|的最小值是()a. b.c2 d不存在【解析】(1n,12n，n)，|2(1n)2(12n)2n26(n)2，当n时，|的最小值为.【答案】b5已知a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，则向量ab与ab的夹角是()a90 b60 c45 d30【解析】ab(cos sin ，2，sin cos )，ab(cos sin ，0，sin cos )，(ab)(ab)0，(ab)(ab)【答案】a二、填空题6已知a(2，5,1)，b(2，2,4)，c(1，4,1)，则向量与的夹角为_【解析】(0,3,3)，(1,1,0)，|3，|，0(1)31303，cos，60.【答案】607已知a(1,0,2)，b(b,21,2)，且ab，则_.【解析】ab，atb.于是解之可得故.【答案】8若(4,6，1)，(4,3，2)，|a|1，且a，a，则a_.【解析】设a(x，y，z)，由题意有，代入坐标可解得：或【答案】(，)或(，)三、解答题9已知3a2b(2,0,4)，c(2,1,2)，ac2，|b|4，求cosb，c解(3a2b)c3ac2bc(2,0,4)(2,1,2)12，又ac2，bc3，由c(2,1,2)知|c|3.cosb，c.10已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，点a(3，1，4)，b(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线ab上，是否存在一点e，使得b？(o为原点)解(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(2)t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)，若b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此存在点e，使得b，e点坐标为(，)图313211已知正方体abcda1b1c1d1用向量法解：(1)求a1b和b1c的夹角；(2)证明：a1bac1；(3)求ac1的长度解(1)以d为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系dxyz.设棱长为1，则a(1,0,0)，a1(1,0,1)，b(1,1,0)，b1(1,1,1)，c(0,1,0)，c1(0,1,1)，(0,1，1)，(1,0，1)，(0,1，1)(1,0，1)0011.|，|.cos，.，0，180，a1b与b1c夹角为60.(2)由(1)知(0,1，1)，(1,1,1)，0110，a1bac1.(3)(1,1,1)，|.即ac1的长度为.课堂小结1空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，只是多了