人教A版选修22 1.3.3函数的最大（小）值与导数 课件（35张）.ppt

第一章 1 3导数在研究函数中的应用 1 3 3函数的最大 小 值与导数 1 理解函数最值的概念 了解其与函数极值的区别与联系 2 会求某闭区间上函数的最值 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 知识点函数的最大 小 值与导数 问题导学新知探究点点落实 答案 如图为y f x x a b 的图象 答极大值为f x1 f x3 极小值为f x2 f x4 思考1观察 a b 上函数y f x 的图象 试找出它的极大值 极小值 思考2结合图象判断 函数y f x 在区间 a b 上是否存在最大值 最小值 若存在 分别为多少 答存在 f x min f a f x max f x3 答案 思考3函数y f x 在 a b 上的最大 小 值一定是某极值吗 答不一定 也可能是区间端点的函数值 思考4怎样确定函数f x 在 a b 上的最小值和最大值 答比较极值与区间端点的函数值 最大的是最大值 最小的是最小值 答案 返回 1 函数的最大 小 值的存在性一般地 如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条的曲线 那么它必有最大值与最小值 2 求函数y f x 在闭区间 a b 上的最值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的与处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是 最小的一个是 连续不断 极值 各极值 端点 最大值 最小值 类型一求函数的最值 解析答案 题型探究重点难点个个击破 例1已知函数f x x3 ax2 1 a r 且f x 在点处的切线垂直于y轴 1 求实数a的值 因为f x 3x2 2ax 2 求f x 在区间 0 2 上的最大值和最小值 解由 1 知 f x x3 x2 1 f x 3x2 2x 解析答案 反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值 需注意以下几点 1 对函数进行准确求导 并检验f x 0的根是否在给定区间内 2 研究函数的单调性 正确确定极值和端点函数值 3 比较极值与端点函数值大小 确定最值 反思与感悟 解析答案 解析f x 2x sinx 令f x 0 即2x sinx 0得x 0 解析答案 2 已知函数f x x3 ax2 3x 若x 3是f x 的极值点 求f x 在x 1 a 时的最值 解f x 3x2 2ax 3 由题意知f 3 0 即27 6a 3 0 解得a 5 f x 3x2 10 x 3 令f x 0 即3x2 10 x 3 0 f 3 9 f 1 1 f 5 15 当x 1 5 时 f x 的最小值为 9 最大值为15 类型二由函数的最值求参数 解析答案 例2 1 已知函数f x ax3 6ax2 b x 1 2 的最大值为3 最小值为 29 求a b的值 解由题设知a 0 否则f x b为常函数 与题设矛盾 求导得f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 得x1 0 x2 4 舍去 当a 0 且x变化时 f x f x 的变化情况如下表 解析答案 由表可知 当x 0时 f x 取得极大值b 也就是函数在 1 2 上的最大值 f 0 b 3 又f 1 7a 3 f 2 16a 3f 1 f 2 16a 29 3 解得a 2 综上可得 a 2 b 3或a 2 b 29 2 已知h x x3 3x2 9x 1在区间 k 2 上的最大值是28 求k的取值范围 反思与感悟 解析答案 反思与感悟 解h x x3 3x2 9x 1 h x 3x2 6x 9 令h x 0 得x1 3 x2 1 当x变化时h x 及h x 的变化情况如下表 当x 3时 取极大值28 当x 1时 取极小值 4 而h 2 3 h 3 28 如果h x 在区间 k 2 上的最大值为28 则k 3 已知函数在某区间上的最值求参数的值 范围 是求函数最值的逆向思维 一般先求导数 利用导数研究函数的单调性及极值点 探索最值点 根据已知最值列方程 不等式 解决问题 其中注意分类讨论思想的应用 反思与感悟 跟踪训练2 1 若函数f x 3x x3在区间 a2 12 a 上有最小值 则实数a的取值范围是 a 1 b 1 4 c 1 2 d 1 2 解析答案 解析由f x 3 3x2 0 得x 1 当x变化时 f x 及f x 的变化情况如下表 a 2 已知函数f x x ln x a 的最小值为0 其中a 0 求a的值 解f x 的定义域为 a 由f x 0 解得x 1 a a 当 a1 a时 f x 0 f x 在 1 a 上单调递增 因此 f x 在x 1 a处取得最小值 由题意知f 1 a 1 a 0 故a 1 解析答案 例3设函数f x tx2 2t2x t 1 x r t 0 1 求函数f x 的最小值h t 类型三与最值有关的恒成立问题 解析答案 解 f x t x t 2 t3 t 1 x r t 0 当x t时 f x 的最小值为f t t3 t 1 即h t t3 t 1 2 在 1 的条件下 若h t 2t m对t 0 2 恒成立 求实数m的取值范围 解析答案 反思与感悟 解析答案 解令g t h t 2t t3 3t 1 由g t 3t2 3 0及t 0 得t 1 当t变化时 g t g t 的变化情况如下表 由上表可知当t 1时 g t 有极大值g 1 1 又在定义域 0 2 内 g t 有唯一的极值点 反思与感悟 函数g t 的极大值也就是g t 在定义域 0 2 内的最大值 即g t max 1 h t 1时上式成立 实数m的取值范围是 1 反思与感悟 1 涉及到不等式恒成立 不等式能成立的问题时 一般需转化为函数最值来解决 若不等式中含参数 则可考虑分离参数 以求避免分类讨论 2 不等式恒成立 能成立常见的转化策略 1 a f x 恒成立 a f x max ag x k恒成立 kg x 恒成立 f x g x min 0 4 a f x 能成立 a f x min a f x 能成立 a f x max 反思与感悟 跟踪训练3 1 函数f x x3 3x 1 若对于区间 3 2 上的任意x1 x2都有 f x1 f x2 t 则实数t的最小值是 a 20b 18c 1d 0 解析答案 解析由f x 3x2 3 0得x 1 f 1 1 f 1 3 f 3 19 f 2 1 f x 在 3 2 上的f x max 1 f x min 19 则 f x1 f x2 20 t 20 tmin 20 a 2 已知函数f x x x2 a a r g x lnx 若在区间 1 2 上f x 的图象在g x 图象的上方 没有公共点 求实数a的取值范围 解由题意知f x g x 在区间 1 2 上恒成立 当x 1 2 时 2x3 1 1 lnx 0 所以h x 0 所以h x 在 1 2 上单调递增 从而h x min h 1 1 所以a 1 解析答案 类型四利用导数证明不等式 例4求证 当x 0时 ln x 1 x x2 解析答案 反思与感悟 函数的定义域是 1 当x 1 时 f x 0 f x 在 1 上是增函数 反思与感悟 1 解决本题首先要注意函数的定义域 再正确地构造出函数f x ln x 1 x x2 把问题转化为求函数f x 的最值 2 利用函数的最值证明不等式的基本步骤是 1 将不等式构造成f x 0 或 0 的形式 2 利用导数将函数y f x 在所给区间上的最小值 或最大值 求出 3 证明y f x 的最小值 或最大值 大于零 或小于零 即证不等式成立 反思与感悟 跟踪训练4当x 0时 求证 1 2x e2x 证明构造函数f x 1 2x e2x x 0 则f x 2 2e2x x 0 e2x 1 f x 2 2e2x 0 f x 1 2x e2x在 0 上单调递减 f x f 0 又f 0 1 2 0 e0 0 f x 0 即1 2x e2x 0 1 2x e2x 返回 解析答案 1 函数f x x3 3x x 1 a 有最大值 无最小值b 有最大值 最小值c 无最大值 最小值d 无最大值 有最小值 解析答案 达标检测 1 2 3 4 解析f x 3x2 3 0得x 1或1 舍去 当x 1 时 f x 0 f x 单调递增 当x 1 1 时 f x 0 f x 单调递减 故f x 有最大值而无最小值 a 解析答案 1 2 3 4 c 3 若函数f x x3 3x2 9x k在区间 4 4 上的最大值为10 则其最小值为 1 2 3 4 解析答案 解析f x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 由f x 0得x 3或x 1 又f 4 k 76 f 3 k 27 f 1 k 5 f 4 k 20 由f x max k 5 10 得k 5 f x min k 76 71 71 4 设r为正有理数 求函数f x 1 x r 1 r 1 x 1 x 1 的最小值 1 2 3 4 解析答案 解因为f x r 1 1 x r r