人教A版选修23 2.2.2事件的相互独立性 课件（72张）.ppt

2 2 2事件的相互独立性 主题1事件的相互独立性三张奖券中只有一张能中奖 现分别由三名同学有放回地抽取 事件a为 第一名同学没有抽到中奖奖券 事件b为 最后一名同学抽到中奖奖券 据此回答下列问题 1 试求p b a 与p b 的大小关系 提示 显然 有放回地抽取奖券时 最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张 因此p b a p b 2 试求p ab 与p b p a 的大小关系 提示 因为p b a 且p b a p b 所以p ab p a p b a p a p b 3 事件a的发生会不会影响事件b发生的概率 提示 不会影响 结论 独立事件的定义 设a b为两个事件 若 则称事件a与事件b相互独立 p ab p a p b 微思考 1 两个事件相互独立时 满足何种概率关系 提示 p ab p a p b 2 在什么条件下 p b a p b 成立 提示 若事件a b是相互独立的 则有p b a p b 3 两事件相互独立是否说明这两个事件没有任何关系 提示 两事件a b相互独立是指事件a是否发生与事件b是否发生没有关系 并不是事件a b间没有关系 相反 若事件a b相互独立 则常有事件ab 即事件a b不互斥 主题2两独立事件的性质1 如果事件a与b相互独立 试说明a与也相互独立 提示 p a p a p ab p a p a p b p a 1 p b p a p 所以a与也相互独立 2 如果事件a与b相互独立 试说明与b也相互独立 提示 p b p b p ab p b p a p b p b 1 p a p p b 所以与b也相互独立 3 如果事件a与b相互独立 试说明与也相互独立 提示 p p p b p p p b p 1 p b p p 所以与也相互独立 结论 两事件独立的性质 a与b是相互独立事件 则也相互独立 微思考 1 p a p a p 是否成立 提示 因为a与不是相互独立事件 是对立事件 所以p a p a p 一定不成立 2 若a与是相互独立事件 则a与b是否相互独立 提示 因为b与是互斥事件 所以p b 1 p 又p a p a p ab p a p 所以p ab p a p b 所以a与b相互独立 预习自测 1 若事件a与b相互独立 则下列不相互独立的事件为 解析 选c 依题意可知 当a与b相互独立时 是相互独立的 而b与不一定相互独立 2 若事件a b相互独立 且p a p b 则p ab 解析 选c 因为事件a b相互独立 故p ab 3 抛掷一颗骰子一次 记a表示事件 出现偶数点 b表示事件 出现3点或6点 则事件a与b的关系是 a 互斥事件b 相互独立事件c 既互斥又相互独立事件d 既不互斥又不相互独立事件 解析 选b a 2 4 6 b 3 6 ab 6 所以p a p b p ab 所以a与b是相互独立事件 4 盒子里有a个黑球 b个白球 每次取一个有放回地取两次 设a 第一次摸得黑球 b 第二次摸得黑球 则事件a发生 影响事件b发生 解析 显然a与b两个事件是相互独立的 所以事件a发生不会影响事件b的发生 答案 不会 5 两人射击命中目标的概率分别为现两人同时射击目标 则目标被命中的概率为 解析 目标没有被击中的概率为故目标被击中的概率为1 答案 6 已知a b是相互独立事件 且p a p b 则p a 解析 p a p a p p a 1 p b 1 答案 7 甲 乙两人独立地解同一问题 甲解决这个问题的概率是p1 乙解决这个问题的概率是p2 求恰好有1人解决这个问题的概率 仿照教材p54例3的解析过程 解析 1 甲解决这个问题 乙未解决这个问题的概率是p1 1 p2 2 甲未解决这个问题 乙解决这个问题的概率是p2 1 p1 所以恰好有1人解决这个问题的概率是p1 1 p2 p2 1 p1 类型一相互独立事件的判断 典例1 从一副扑克牌 去掉大 小王 中任抽一张 设a 抽到k b 抽到红牌 c 抽到j 那么下列每对事件是否相互独立 是否互斥 是否对立 为什么 1 a与b 2 c与a 解题指南 可以依据相互独立事件 互斥事件 对立事件的概念进行定性分析 也可运用相关概率公式进行定量计算 作出判断 解析 1 由于事件a为 抽到k 事件b为 抽到红牌 故抽得红牌中有可能抽到红桃k或方块k 即有可能抽到k 故事件a b有可能同时发生 显然它们不是互斥事件 更不是对立事件 以下考虑它们是否为相互独立事件 抽到k的概率p a 抽到红牌的概率p b 故p a p b 事件ab即为 既 抽到k又抽到红牌 亦即 抽到红桃k或方块k 故p ab 从而有p a p b p ab 因此a与b为相互独立事件 2 从一副牌 52张 中任取一张 抽到k就不可能抽到j 抽到j就不可能抽到k 故事件c与a不可能同时发生 a与c互斥 不是相互独立事件 又抽不到k不一定抽到j 故a与c并非对立事件 方法总结 事件a b相互独立的充要条件事件a b相互独立的充要条件是p ab p a p b 1 充分性 由定义知p ab p a p b 时 事件a b相互独立 2 必要性 由a b相互独立得p b a p b 所以p ab p a p b a p a p b 巩固训练 容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球 1 从8个球中任意取出1个 取出的是白球 与 从剩余的7个球中任意取出1个 取出的还是白球 这两个事件是否相互独立 为什么 2 从8个球中任意取出1个 取出的是白球 与 把取出的1个白球放回容器 再从容器中任意取出1个 取出的是黄球 这两个事件是否相互独立 为什么 解析 1 从8个球中任意取出1个 取出的是白球 的概率是 若这一事件发生了 则 从剩余的7个球中任意取出1个 取出的还是白球 的概率为 若前一事件没有发生 则后一事件发生的概率为 可见 前一事件是否发生 对后一事件发生的概率有影响 所以二者不是相互独立事件 2 由于把取出的白球放回容器 故对 再从容器中任意取出1个 取出的是黄球 的概率没有影响 所以二者是相互独立事件 补偿训练 甲 乙两名射手同时向一目标射击 设事件a 甲击中目标 事件b 乙击中目标 则事件a与事件b a 相互独立但不互斥b 互斥但不相互独立c 相互独立且互斥d 既不相互独立也不互斥 解析 选a 对同一目标射击 甲 乙两射手是否击中目标是互不影响的 所以事件a与b相互独立 对同一目标射击 甲 乙两射手可能同时击中目标 也就是说事件a与b可能同时发生 所以事件a与b不是互斥事件 类型二相互独立事件同时发生的概率 典例2 1 种植两株不同的花卉 若它们的成活率分别为p和q 则恰有一株成活的概率为 a p q 2pqb p q pqc p qd pq 2 2017 贵阳高二检测 甲 乙两人破译一密码 他们能破译的概率分别为和 求 两人都能破译的概率 两人都不能破译的概率 解题指南 1 两种花卉成活与否是相互独立的 因此可以利用相互独立事件的概率公式求解 2 如果a b是相互独立事件 那么均相互独立 所以可以利用相互独立事件的概率公式来解题 解析 1 选a 恰有一株成活的概率为p 1 q 1 p q p q 2pq 2 设 甲能破译 为事件a 乙能破译 为事件b 则a b相互独立 从而相互独立 两人都能破译 为事件ab 则p ab p a p b 两人都不能破译 的事件为则 1 p a 1 p b 延伸探究 1 典例 2 中条件不变 求恰有一人能破译的概率 解析 恰有一人能破译 的事件为又互斥 则 2 典例 2 中条件不变 试求至多有一人能破译的概率 解析 至多有一人能破译 的事件为互斥 故 3 若典例 2 中的条件 他们能破译的概率分别为 换为 他们不能破译的概率分别为 其他条件不变 试求两人都能破译的概率 解析 设 甲能破译 为事件a 乙能破译 为事件b 则由题意知故因此两人都能破译的概率为p ab p a p b 方法总结 求相互独立事件概率的步骤 1 确定各事件之间是相互独立的 2 确定这些事件可以同时发生 3 求出每个事件发生的概率 再根据相互独立事件的概率计算公式求解 拓展延伸 已知两个事件a b相互独立 它们的概率分别为p a p b 则有 补偿训练 三支球队中 甲队胜乙队的概率为0 4 乙队胜丙队的概率为0 5 丙队胜甲队的概率为0 6 比赛顺序是 第一局是甲队对乙队 第二局是第一局的胜者对丙队 第三局是第二局的胜者对第一局的败者 第四局是第三局的胜者对第二局的败者 求乙队连胜四局的概率 解析 设乙队连胜四局为事件a 有下列情况 第一局中乙胜甲 a1 其概率为1 0 4 0 6 第二局中乙胜丙 a2 其概率为0 5 第三局中乙胜甲 a3 其概率为1 0 4 0 6 第四局中乙胜丙 a4 其概率为0 5 因各局比赛中的事件相互独立 故乙队连胜四局的概率为p a p a1 p a2 p a3 p a4 0 62 0 52 0 09 类型三相互独立事件概率的综合应用 典例3 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0 5 购买乙种商品的概率为0 6 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立 各顾客之间购买商品也是相互独立的 求 1 进入商场的1位顾客 甲 乙两种商品都购买的概率 2 进入商场的1位顾客购买甲 乙两种商品中的一种的概率 3 进入商场的1位顾客至少购买甲 乙两种商品中的一种的概率 解题指南 解答本题先应明确购买甲 乙两种商品及顾客之间购买商品都是相互独立的 用字母表示相应的随机事件 再利用独立事件的概念进行求解 解析 记a表示事件 进入商场的1位顾客购买甲种商品 则p a 0 5 记b表示事件 进入商场的1位顾客购买乙种商品 则p b 0 6 记c表示事件 进入商场的1位顾客 甲 乙两种商品都购买 记d表示事件 进入商场的1位顾客购买甲 乙两种商品中的一种 记e表示事件 进入商场的1位顾客至少购买甲 乙两种商品中的一种 1 易知c ab 则p c p ab p a p b 0 5 0 6 0 3 2 易知d a b 则p d p a p b p a p p p b 0 5 0 4 0 5 0 6 0 5 3 易知 则p p p p 0 5 0 4 0 2 故p e 1 p 0 8 方法总结 1 求解概率综合应用问题的思路 1 大化小 即将问题划分为若干个彼此互斥或相互独立的事件 2 运用概率的加法公式和乘法公式来求解 在运用乘法公式时一定要注意是否满足彼此独立 只有彼此独立才能运用乘法公式 3 正难则反 间接处理 在求事件的概率时 有时遇到求 至少 或 至多 等概率问题 如果从正面考虑这些问题 它们是诸多事件的和或积 求解过程烦琐 但对立事件却往往很简单 其概率也易求出 此时 可逆向思考 先求其对立事件的概率 再利用对立事件的概率和为1来求原来事件的概率 2 求解概率综合应用问题的流程 1 确定基本事件并用字母表示 2 判断各事件的关系 互斥 对立 独立 3 将各事件用基本事件的和或积表示 4 选择恰当的概率公式计算 巩固训练 甲 乙 丙三台机器是否维修相互之间没有影响 在一小时之内甲 乙 丙三台机器需要维修的概率分别是0 1 0 2 0 4 则一小时之内恰有一台机器需要维修的概率为 a 0 444b 0 008c 0 7d 0 233 解析 选a 恰有一台机器需要维修的概率为 0 1 1 0 2 1 0 4 1 0 1 0 2 1 0 4 1 0 1 1 0 2 0 4 0 444 补偿训练 某学生语 数 英三科考试成绩 在一次考试中排名全班第一的概率 语文为0 9 数学为0 8 英语为0 85 问这一次考试中 1 三科成绩均未获得第一名的概率是多少 2 恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少 解析 分别记该生语 数 英考试成绩排名全班第一的事件为a b c 则a b c两两相互独立且p a 0 9 p b 0 8 p c 0 85 1 三科成绩均未获得第一名 可以用 表示 1 p a 1 p b 1 p c 1 0 9 1 0 8 1 0 85 0 003所以三科成绩均未获得第一名的概率是0 003 2 恰有一科成绩未获得第一名 可以用表示 由于事件 两两互斥 根据概率加法公式和相互独立事件的意义 所求的概率为 1