人教A版选修22 1.5.3定积分的概念 教案.doc

定积分的概念【教学目标】1了解定积分的概念，会用定义求定积分2理解定积分的几何意义3掌握定积分的基本性质 【教法指导】本节学习重点：掌握定积分的基本性质本节学习难点：理解定积分的几何意义【教学过程】复习引入 任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算如图所示的平面图形，是由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.探索新知探究点一定积分的概念思考1分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限思考2怎样正确认识定积分f(x)dx?(2)定积分就是和的极限(i)x，而f(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b的定积分”(3)函数f(x)在区间a，b上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)例1利用定积分的定义，计算x3dx的值解令f(x)x3.(1)分割在区间0,1上等间隔地插入n1个分点，把区间0,1等分成n个小区间，(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(2)近似代替、求和取i(i1,2，n)，则x3dxsnf()x ()3i3n2(n1)2(1)2.(3)取极限x3dxsn (1)2. 反思与感悟(1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤(2)从过程来看，当f(x)0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积跟踪训练1用定义计算(1x)dx.2，从而得f(i)x(2)n012(n1)22.(3)取极限：s 2.因此(1x)dx.探究点二定积分的几何意义思考1从几何上看，如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么f(x)dx表示什么？答当函数f(x)0时，定积分f(x)dx在几何上表示由直线xa，xb(a0，f(i)0，故f(i)0.从而定积分f(x)dx0，这时它等于如图所示曲边梯形面积的相反值，即f(x)dxs.当f(x)在区间a，b上有正有负时，定积分f(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线xa，xb(ab)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)(如图)，即f(x)dxs1s2s3.例2利用几何意义计算下列定积分：(1)dx；(2)(3x1)dx.(2)由直线x1，x3，y0，以及y3x1所围成的图形，如图所示：(3x1)dx表示由直线x1，x3，y0以及y3x1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，(3x1)dx(3)(331)(1)216.反思与感悟利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定跟踪训练2根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)xdx；(2)cos xdx；(3)|x|dx.解(1)如图(1)，xdxa1a10.(2)如图(2)，cos xdxa1a2a30.(3)如图(3)，a1a2，|x|dx2a121.(a1，a2，a3分别表示图中相应各处面积) 探究点三定积分的性质思考1定积分的性质可作哪些推广？答定积分的性质的推广f1(x)f2(x)fn(x)dxf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx；f(x)dxc1af(x)dxc2c1f(x)dxbcnf(x)dx(其中nn*)思考2如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？例3计算(x3)dx的值解如图，由定积分的几何意义得dx，x3dx0，由定积分性质得(x3)dxdxx3dx. 反思与感悟根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算跟踪训练3已知x3dx，x3dx，x2dx，x2dx，求：(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x22x3)dx.解(1)3x3dx3x3dx3(x3dxx3dx)3()12；(2)6x2dx6x2dx6(x2dxx2dx)6()126；(3)(3x22x3)dx3x2dx2x3dx3x2dx2x3dx327.课堂提高1下列结论中成立的个数是()x3dx；x3dx；x3dx.a0 b1 c2 d3【答案】c2 当n很大时，函数f(x)x2在区间 (i1,2，n)上的值可以用 ()近似代替 a. b c d【答案】c【解析】f(x)x2在区间上的值可以用区间上每一点对应的函数值近似代替，故选c.3下列等式不成立的是()a. mnb. bac. d. 【答案】c【解析】利用定积分的性质进行判断，选项c不成立例如，.故选c. 4已知定积分f(x)dx8，且f(x)为偶函数，则f(x)dx等于()a0 b16 c12 d8【答案】b【解析】偶函数图象关于y轴对称，故f(x)dx2f(x)dx16，故选b.5已知，.求：(1)；(2)；(3). 【解析】(1).(2)e218e27.(3)e2eln2.6利用定积分的定义计算(x22x)dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么(2)近似代替、求和取i1(i1,2，n)，则snf(1)x(1)22(1)(n1)2(n