苏教版必修三 2.4　线性回归方程 学案.docx

2.4线性回归方程学习目标1. 了解相关关系、线性相关的概念.2.会根据散点图判断数据是否具有相关关系.3.会求线性回归方程，并能根据线性回归方程做出合理判断知识点一变量之间的两类关系变量间的两类关系函数关系变量之间的关系可以用函数表示相关关系变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达能用直线近似表示的相关关系叫线性相关关系知识点二散点图1散点图：将样本中n个数据点(xi，yi)(i1,2，n)描在平面直角坐标系中得到的图形叫散点图2利用散点图可以大致确定两个变量是不是有相关关系，以及相关性强弱知识点三最小平方法及线性回归方程思考若散点大致分布在一条直线附近，如何确定这条直线比较合理？答案应该使散点整体上最接近这条直线梳理线性回归方程：能用直线方程bxa近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫线性回归方程最小平方法是一种求回归直线的方法，用这种方法求得的回归直线能使样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小给出一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，用最小平方法求得线性回归方程的系数a，b满足上式还可以表示为1函数关系是一种确定关系，而相关关系是具有随机性的两个变量之间的关系()2函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可以是伴随关系()3回归直线一定过样本点中心(，)()4根据线性回归方程公式，任给一组数据，均可以求出线性回归方程，并可以预报()类型一变量之间相关关系的判断例1在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？(1)正方形边长与面积之间的关系；(2)作文水平与课外阅读量之间的关系；(3)人的身高与年龄之间的关系；(4)降雪量与交通事故发生率之间的关系解两变量之间的关系有：函数关系与带有随机性的相关关系(1)正方形的边长与面积之间的关系是函数关系(2)作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系(3)人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具备相关关系(4)降雪量与交通事故发生率之间具有相关关系反思与感悟如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的，由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系，从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么跟踪训练1有下列关系：老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；曲线上的点与该点的坐标之间的关系；苹果的产量与气候之间的关系；森林中的同一种树木，其横截面直径与高度之间的关系；学生与其学号之间的关系其中有相关关系的是_(填序号)答案类型二散点图及应用例25名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：学生成绩abcde数学成绩8075706560物理成绩7066686462判断它们是否具有线性相关关系解以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系反思与感悟(1)判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响(2)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论跟踪训练2下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是_答案解析散点图中的点无规则的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；中的点分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是在一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故填.类型三线性回归方程的求法及应用例3下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由机动车辆数x/103辆95110112120129135150180交通事故数y/103件6.27.57.78.58.79.810.213解在直角坐标系中画出数据的散点图如图：直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系从而计算相应的数据之和：i1 031，i71.6，137 835，iyi9 611.7.将它们代入公式计算得b0.077 4，a1.024 1，所以，所求线性回归方程为0.077 4x1.024 1.反思与感悟对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，若呈直线形，再依系数a，b的计算公式，算出a，b.求a，b时，先计算平均数，；接着计算xi与yi的积，然后求xiyi及x；最后将结果代入公式求b；用ab 求a.跟踪训练3下表数据是退水温度x()对黄酮延长性y( )效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的变量x，y，其方差与x无关x()300400500600700800y( )405055606770(1)画出散点图；(2)指出x，y是否线性相关；(3)若线性相关，求y关于x的线性回归方程；(4)估计退水温度是1 000时，黄酮延长性的情况解(1)散点图如图：(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y与x线性相关(3)列出下表并用 学计算器进行有关计算i123456xi300400500600700800yi405055606770xiyi12 00020 00027 50036 00046 90056 000x90 000160 000250 000360 000490 000640 000550，571 990 000，xiyi198 400于是可得b0.058 9，ab570.058 955024.605.因此所求的线性回归方程为0.058 9x24.605.(4)将x1 000代入线性回归方程得0.058 91 00024.60583.505，即退水温度是1 000时，黄酮延长性大约是83.505 .1如图所示的五组数据(x，y)中，去掉_后，剩下的4组数据相关性增强答案(4,10)解析去除(4,10)后，其余四点大致分布在一条直线附近，相关性增强2设某大学的女生体重y(单位： g)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小平方法建立的线性回归方程为0.85x85.71，则下列结论中不正确的是_体重y与身高x具有函数间的关系；回归直线过(，)点；若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 g；若该大学某女生身高为170 cm，则可判定其体重必为58.79 g.答案解析体重与身高的关系不确定，不是函数关系当x170时，0.8517085.7158.79，体重的估计值为58.79 g.3已知x与y之间的一组数据：x0123y1357若y与x线性相关，则y与x的线性回归方程bxa必过_答案(1.5,4)解析1.5，4，线性回归方程必过点(1.5,4)4正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y( g)对身高x(cm)的线性回归方程为0.72x58.2，张明同学(20岁)身高178 cm，他的体重应该在_ g左右答案69.96解析用线性回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测，当x178时，0.7217858.269.96( g)5某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得线性回归方程bxa中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为_万元答案65.5解析由题意可知3.5，42，则429.43.5a，a9.1，9.469.165.5.1求样本数据的回归方程，可按下列步骤进行：第一步计算平均数，.第二步求和iyi，.第三步计算b，ab.第四步写出回归方程bxa.2回归方程被样本数据唯一确定，各样本点大致分布在回归直线附近对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性3对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程一、填空题1下列两个变量中具有相关关系的是_(填写相应的序号)球的半径与体积；角的弧度数和它的正弦值；单产为常数时，土地面积和总产量；日照时间与水稻的亩产量答案解析球的半径r与体积v存在着函数关系vr3 ；角的弧度数和它的正弦值y存在着函数关系ysin ；单产为常数a公斤/亩，土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系yax；日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应填.2下列有关线性回归方程的说法，不正确的是_(填序号)自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图；线性回归方程最能代表观测值x、y之间的线性关系；任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线答案解析只有数据点整体上分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线3工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为6090x，下列判断正确的是_(填序号)劳动生产率为1千元时，工资为50元；劳动生产率提高1千元时，工资提高150元；劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元；劳动生产率为1千元时，工资为90元答案解析因工人月工资与劳动生产率变化的线性回归方程为6090x，当x由a提高到a1时，216090(a1)6090a90.4如图所示，表示两个变量不具有相关关系的有_答案解析是确定性函数关系；中的点的分布没有任何规律可言，故x，y不具有相关关系5若对某个地区人均工资x与该地区人均消费y进行调查统计得y与x具有相关关系，且线性回归方程为0.7x2.1(单位：千元)，若该地区人均消费额为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为_答案87.5 解析设该地区人均工资收入为，则0.72.1，当10.5时，12.100 87.5 .6期中考试后，某校高一(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归方程为60.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差_分答案20解析令两人的总成绩分别为x1，x2.则对应的数学成绩估计为160.4x1，260.4x2，所以 12 0.4(x1x2) 0.45020.7给出两组数据x，y的对应值如下表，若已知x，y是线性相关的，且线性回归方程：abx，经计算知：b1.4，则a为_x45678y1210986答案17.4解析(45678)6，(1210986)9.ab91.4698.417.4.8某地区近10年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合0.8x0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是_亿元答案12.1解析将x15代入0.8x0.1，得12.1.9在一定的限度范围内，若施化肥量x(单位： g/公顷)与水稻产量y(单位： g/公顷)的线性回归方程为5x250，当施化肥量为80 g/公顷时，预计水稻产量为_ g/公顷答案650解析把x80代入线性回归方程5x250，得650.10某男数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_cm.答案185解析根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的对应数据可列表如下：父亲的身高(x)173170176儿子的身高(y)170176182173，176，b1，ab1761733，线性回归方程为x3，从而可预测他孙子的身高为1823185(cm)11为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：h)与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为_；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6 h篮球的投篮命中率为_答案0.50.53解析0.5，3.由公式，得b0.01，从而ab0.50.0130.47.所以线性回归方程为0.470.01x.所以当x6时，0.470.0160.53.二、解答题12某商店统计了近6个月某商品的进价x与售价y(单位：元)，对应数据如下：x3528912y46391214求y对x的线性回归方程(结果保留三位小数)解6.5，8，327，iyi396，b1.143，ab0.571，线性回归方程为1.143x0.571.13以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积x(m2)11511080135105销售价格y(万元)24.821.618.429.222(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格(结果保留四位小数)解(1)数据对应的散点图如图所示(2)i109，i23.2，60 975，iyi12 952.设所求回归方程为bxa，则b0.196 2，ab23.21090.196