人教A版选修11：2.3.2.2抛物线方程及性质的应用 课件（46张）.ppt

第2课时抛物线方程及性质的应用 类型一直线与抛物线的位置关系 典例1 1 2017 吉林高二检测 已知直线l过点且与抛物线y2 2px p 0 只有一个公共点 则直线l的方程为 2 顶点在原点 焦点在x轴上的抛物线截直线y 2x 4所得的弦长 ab 3 求此抛物线方程 解题指南 1 设出直线的点斜式方程 利用直线与抛物线只有一个公共点的条件求斜率 2 利用直线被抛物线截得的弦长公式求参数 解析 1 当直线与抛物线只有一个公共点 相切 时 由题意设直线l方程为将直线l的方程与y2 2px联立 消去x得ky2 2py 2 3k p2 0 由 0得 或k 1 所以直线l的方程为2x 6y 9p 0 或2x 2y p 0 当直线l与x轴平行时 直线l与抛物线只有一个交点 此时 y p 故满足条件的直线共有三条 其方程为 2x 6y 9p 0 或2x 2y p 0 或y p 答案 2x 6y 9p 0 或2x 2y p 0 或y p 2 设所求的抛物线方程为y2 ax a 0 a x1 y1 b x2 y2 把直线y 2x 4代入y2 ax 得4x2 a 16 x 16 0 由 a 16 2 256 0 得a 0或a 32 又x1 x2 x1x2 4 所以 ab 所以所以a 4或a 36 故所求的抛物线方程为y2 4x或y2 36x 延伸探究 1 本例 1 中 若过点a t p 只有一条直线与抛物线只有一个公共点 求t的取值范围 解析 由典例知 若点a在抛物线外部或抛物线上 则至少有两条直线与抛物线只有一个公共点 所以点a应在抛物线内部 即p2 2pt 所以 2 本题 1 中 若斜率为2的直线被抛物线截得的弦的中点坐标为 2 1 求抛物线的方程 解析 设直线与抛物线的两个交点为a x1 y1 b x2 y2 则所以代入已知条件得2 2 2p 所以p 2 抛物线方程为y2 4x 方法总结 直线与抛物线位置关系的常见解法 1 点差法 对于直线和抛物线有两个交点问题 点差法 是常用法 如若a x1 y1 b x2 y2 是抛物线y2 2px上两点 则直线ab的斜率kab与y1 y2可得如下等式kab 2 联立方程法 设抛物线方程为y2 2px p 0 直线ax by c 0 将直线方程与抛物线方程联立 消去x得到关于y的方程my2 ny q 0 若m 0 当 0时 直线与抛物线有两个公共点 当 0时 直线与抛物线只有一个公共点 当 0时 直线与抛物线没有公共点 若m 0 直线与抛物线只有一个公共点 此时直线与抛物线的对称轴平行或重合 提醒 直线与抛物线位置关系问题 常转化为二次函数问题解决 但要注意对二次项系数是否为零进行讨论 避免漏掉直线与抛物线对称轴平行或重合的特殊情况 补偿训练 1 直线l y kx 1 抛物线c y2 4x 当k为何值时 l与c有 1 一个公共点 2 两个公共点 3 没有公共点 解析 由得k2x2 2k 4 x 1 0 当k 0时 方程变为 4x 1 0 此时y 1 所以直线l与c只有一个公共点此时直线l平行于x轴 当k 0时 方程 是一个一元二次方程 2k 4 2 4k2 1 16 16k 当 0 即k 1 且k 0时 l与c有两个公共点 此时l与c相交 当 0 即k 1时 l与c有一个公共点 此时直线l与c相切 当 1时 l与c没有公共点 此时直线l与c相离 综上所述 1 当k 1或k 0时 直线l与c有一个公共点 2 当k1时 直线l与c没有公共点 2 如图所示 直线l y x b与抛物线c x2 4y相切于点a 1 求实数b的值 2 求以点a为圆心 且与抛物线c的准线相切的圆的方程 解析 1 由得x2 4x 4b 0 因为直线l与抛物线c相切 所以 4 2 4 4b 0 解得b 1 2 由 1 可知b 1 故方程 即为x2 4x 4 0 解得x 2 将其代入x2 4y 得y 1 故点a 2 1 因为圆a与抛物线c的准线相切 所以圆a的半径r等于圆心a到抛物线的准线y 1的距离 即r 1 1 2 所以圆a的方程为 x 2 2 y 1 2 4 类型二抛物线中的最值与范围问题 典例2 已知抛物线y2 2x 1 设点a的坐标为求抛物线上距离点a最近的点p的坐标及相应的距离 pa 2 在抛物线上求一点p 使p到直线x y 3 0的距离最短 并求出距离的最小值 解题指南 第 1 问中可将距离 pa 的最小值问题转化为函数最小值问题 即代数方法解决几何问题 而第 2 问可用点到直线距离公式求距离 利用函数思想求最小值 也可采用求出与已知直线平行的抛物线的切线 再求出切点 两平行直线的距离即为距离的最小值 解析 1 设抛物线上任一点p的坐标为 x y 则 pa 2 因为x 0 且在此区间上函数单调递增 所以当x 0时 pa min 故距点a最近的点的坐标为 0 0 2 设点p x0 y0 是y2 2x上任一点 则p到直线x y 3 0的距离为当y0 1时 dmin 所以点p的坐标为 一题多解 设与直线x y 3 0平行的抛物线的切线为x y t 0 与y2 2x联立 消去x 得y2 2y 2t 0 由 0 得t 此时y 1 x 所以点p坐标为两平行线间的距离就是点p到直线的最小距离 即dmin 方法总结 两类与抛物线定义有关的最值问题的解题方法 1 点在抛物线外 求抛物线上的点p到抛物线外的一定点a的距离与准线的距离d之和的最小值 方法是利用抛物线的定义把d转化为 pf f为抛物线的焦点 即将求 pa d的最小值转化为求 pf pa 的最小值 利用p a f三点共线求最小值 2 点在抛物线内 求抛物线上的点p到抛物线内的一定点a的距离与抛物线焦点f的距离之和的最小值 方法是利用抛物线的定义把 pf 转化为p到准线l的距离d 即将求 pa pf 的最小值转化为求d pa 的最小值 利用点a到准线的垂线段最短求最小值 拓展延伸 抛物线上一点到某定点或到某定直线的距离问题的两类解法 1 函数最值法 设点p x0 y0 是抛物线y2 2px p 0 上的点 则即再由两点间的距离公式 点到直线的距离公式表示出所求距离 利用求函数最值的方法求解 2 几何转化法 抛物线上一点到某定直线的距离的最值问题也可通过平移直线的方法转化为平行线间的距离问题 巩固训练 求抛物线y2 64x上的点到直线4x 3y 46 0的距离的最小值 并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标 解析 设点p x0 y0 是抛物线上的任意一点 则x0 点p到直线4x 3y 46 0的距离所以当y0 24 x0 9时 d有最小值为2 即抛物线上的点到直线的最小距离等于2 这时抛物线上的点的坐标为 9 24 一题多解 切线平移法 因为无实根 所以直线与抛物线没有公共点 设与直线平行的直线为则消去x得 y2 48y 48b 0 设此直线与抛物线相切 即只有一个公共点 所以判别式 482 4 48b 0 b 12 代入 式得y 24 故x 9 即 9 24 到直线4x 3y 46 0的距离最近 最近距离为 类型三抛物线中的对称问题 典例3 在已知抛物线y x2上存在两个不同的点m n关于直线y kx 对称 求k的取值范围 解题指南 假设存在m n两点 利用mn的中点在抛物线内部确定k的范围 或设出mn的方程 利用直线mn与抛物线有两个交点确定k的范围 解析 方法一 设m x1 x12 n x2 x22 关于直线y kx 对称 可知k 0 所以即x1 x2 设mn的中点为p x0 y0 则因为中点p在y x2内 有所以k 或 方法二 由题意可设mn的方程为由得kx2 x bk 0 则 1 4bk2 0 设m x1 y1 n x2 y2 则代入得 代入 1 4bk2 0得16k2 1 0 所以或 方法总结 抛物线中的对称问题的解法 1 抛物线上存在两点关于直线对称问题要充分利用点关于直线对称的两个条件 即对称的两点的中点在这条直线上 对称点的连线与这条直线垂直 2 若将两对称点连线的方程与抛物线的方程联立方程组 可利用判别式 0得不等式 若利用点差法 则可以利用中点在曲线内部得不等式 解不等式 即可求出参数的取值范围 巩固训练 求实数