人教A版选修41 直线与圆的位置关系四弦切角的性质 学案.doc

四 弦切角的性质对应学生用书p28弦切角定理(1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角(2)图形语言叙述：如图，ab与o切于a点，则bacd.说明弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数对应学生用书p29弦切角定理例1(2010新课标全国卷)如图，已知圆上的弧，过c点的圆的切线与ba的延长线交于e点，证明：(1)acebcd；(2)bc2becd.思路点拨利用弦切角定理证明(1)因为，所以bcdabc.又因为ec与圆相切于点c，故aceabc，所以acebcd.(2)因为ecbcdb，ebcbcd，所以bdcecb.故，即bc2becd.利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角1如图，ab为o的直径，直线ef切o于c，若bac56，则eca_.解析：连接bc，ab为o的直径，acb90.b90bac905634.又ef与o相切于点c，由弦切角定理，有ecab34.答案：342.如图，ab是o的弦，cd是经过o上的点m的切线，求证：(1)如果abcd，那么ammb；(2)如果ambm，那么abcd.证明：(1)cd切o于m点，dmba，cmab.abcd，cmaa.ab，故ammb.(2)ambm，ab.cd切o于m点，cmab，cmaa.abcd.3如图，已知ab是o的直径，直线cd与o相切于点c，ac平分dab.(1)求证：adcd；(2)若ad2，ac，求ab的长解：(1)证明：如图，连接bc.直线cd与o相切于点c，dcab.ac平分dab，daccab.adcacb.ab为o的直径，acb90.adc90，即adcd.(2)dcab，daccab，adcacb.，ac2adab.ad2，ac，ab.运用弦切角定理证明比例式或乘积式例2如图，pa，pb是o的切线，点c在上，cdab，cepa，cfpb，垂足分别为d，e，f.求证：cd2cecf.思路点拨证明连接ca、cb.pa、pb是o的切线，capcba，cbpcab.又cdab，cepa，cfpb，rtcaertcbd，rtcbfrtcad，即cd2cecf.证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角形相似的条件，有时需要添加辅助线创造条件4如图，已知mn是o的切线，a为切点，mn平行于弦cd，弦ab交cd于e.求证：ac2aeab.证明：连接bc.aceabcac2abae.5如图，ad是abc的角平分线，经过点a、d的o和bc切于d，且ab、ac与o相交于点e、f，连接df，ef.(1)求证：efbc；(2)求证：df2afbe.证明：(1)o切bc于d，cadcdf.ad是abc的角平分线，badcad.又badefd，efdcdf.efbc.(2)连接de，o切bc于d，badbde.由(1)可得bdefad，又o内接四边形aedf，beddfa.beddfa.又badcad，dedf.df2afbe.对应学生用书p30一、选择题1p在o外，pm切o于c，pab交o于a、b，则()amcbbbpacpcpcab dpacbca解析：由弦切角定理知pcab.答案：c2如图，abc内接于o，ec切o于点c.若boc76，则bce等于()a14b38c52 d76解析：ec为o的切线，bcebacboc38.答案：b3如图，ab是o的直径，ef切o于c，adef于d，ad2，ab6，则ac的长为()a2 b3c2 d4解析：连接bc，则acb90，又adef，adc90，即adcacb，又acdabc，abcacd，ac2adab12，即ac2.答案：c4如图，ab是o直径，p在ab的延长线上，pd切o于c点，连接ac，若acpc，pb1，则o的半径为()a1 b2c3 d4解析：连接bc.acpc，ap.bcpa，bcpp.bcbp1.由bcpcap得pc2pbpa，即ac2pbpa.而ac2ab2bc2，设o半径为r，则4r2121(12r)，解得r1.答案：a二、填空题5.如图，已知ab与o相切于点m，且，且，为圆周长，则amc_，bmc_，mdc_，moc_.解析：弦切角等于所夹弧所对的圆周角，等于所夹弦所对圆心角度数的一半答案：4513545906如图，ab是o的直径，pb，pe分别切o于b，c，若ace40，则p_.解析：连接bc，ab是o的直径，acb90.又ace40，pcbpbc50.p80.答案：807.如图，点p在圆o直径ab的延长线上，且pbob2，pc切圆o于c点，cdab于d点，则cd_.解析：连接oc，pc切o于c点，ocpc.pbob2，oc2.pc2.ocpcopcd，cd.答案：三、解答题8.如图所示，o1与o2交于 a、b两点，过o1上一点p作直线pa、pb分别交o2于点c和点d，ef切o1于点p.求证：efcd.证明：如图，连接ab，ef是o切线，fpapba.又在o2中，abcd为o内接四边形，cabp.fpac.efcd.9.如图所示，abc内接于o，abac，直线xy切o于点c，弦bdxy，ac、bd相交于e.(1)求证：abeacd；(2)若ab6 cm，bc4 cm，求ae的长解：(1)证明：因为xy是o的切线，所以12.因为bdxy，所以13，所以23.因为34，所以24.因为abdacd，又因为abac，所以abeacd.(2)因为32，abcacb，所以bceacb，accebc2.因为abac6 cm，bc4 cm，所以6(6ae)16.所以ae cm.10.如图，abc内接于圆o，ad平分bac交圆o于点d，过点b作圆o的切线交直线ad于点e.(1)求证：ebdcbd；(2)求证：abbea