人教A版选修41 圆锥曲线性质的探讨 学案.doc

第三讲 圆锥曲线性质的探讨对应学生用书p371正射影的概念给定一个平面，从一点a作平面的垂线，垂足为点a，称点a为点a在平面上的正射影一个图形上点a所组成的图形，称为这个图形在平面上的正射影2平行射影设直线l与平面相交，称直线l的方向为投影方向，过点a作平行于l的直线(称为投影线)必交于一点a，称点a为a沿l的方向在平面上的平行射影一个图形上各点在平面上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影3正射影与平行射影的联系与区别正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直而平行射影的投影光线与投影面斜交平面图形的正射影与原投影面积大小相等而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积4两个定理(1)定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于o点，夹角为，l围绕l旋转得到以o为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴l的交角为(当与l平行时，记0)，则，平面与圆锥的交线为椭圆，平面与圆锥的交线为抛物线ab，acac，ab2ac2ab2ac2bc2.cos bac时，平面与圆锥的交线为椭圆思路点拨本题直接证明，难度较大，故可仿照定理1的方法证明，即dandelin双球法证明如图，在圆锥内部嵌入dandelin双球，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切当时，由上面的讨论可知，平面与圆锥的交线是一个封闭曲线设两个球与平面的切点分别为f1、f2，与圆锥相切于圆s1、s2.在截面的曲线上任取一点p，连接pf1、pf2.过p作母线交s1于q1，交s2于q2，于是pf1和pq1是从p到上方球的两条切线，因此pf1pq1.同理，pf2pq2.所以pf1pf2pq1pq2q1q2.由正圆锥的对称性，q1q2的长度等于两圆s1、s2所在平行平面间的母线段的长度而与p的位置无关，由此我们可知在时，平面与圆锥的交线为一个椭圆由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓展为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用dandelin双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决6圆锥的顶角为50，圆锥的截面与轴线所成的角为30，则截线是()a圆 b椭圆c双曲线 d抛物线解析：由25，30，截线是椭圆答案：b7如图，已知平面与圆锥的轴的夹角为，圆锥母线与轴的夹角为，求证：平面与圆锥的交线为抛物线证明：当时，平面与圆锥的一部分相交，且曲线不闭合在圆锥内嵌入一个dandelin球与圆锥交线为圆s.记圆s所在平面为，与的交线记为m.球切于f1点在截口上任取一点p，过p作pam于a，过p作pb平面于b，过p作圆锥的母线交平面于c，连接ab，pf1，bc.由切线长定理，pf1pc.pb平行于圆锥的轴，apb，bpc.在rtabp中，pa，在rtbcp中，pc.，pcpa.pf1pa，即截口上任一点到定点f和到定直线m的距离相等截口曲线为抛物线对应学生用书p39一、选择题1一条直线在一个面上的平行投影是()a一条直线b一个点c一条直线或一个点 d不能确定解析：当直线与面垂直时，平行投影可能是点答案：c2abc的一边在平面内，一顶点在平面外，则abc在面内的射影是()a三角形 b一直线c三角形或一直线 d以上均不正确解析：当abc所在平面平行于投影线时，射影是一线段，不平行时，射影是三角形答案：d3下列说法不正确的是()a圆柱面的母线与轴线平行b圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面c圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关d平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径解析：显然a正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，b正确，c显然正确，d中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确答案：d4设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120，当圆锥的截面与轴成45角时，则截得二次曲线的离心率为()a. b.c1 d.解析：由题意知60，45，满足，这时截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e.答案：b二、填空题5用平面截球面和圆柱面所得到的截线形状分别是_、_.解析：联想立体图形及课本方法，可得结论要注意平面截圆柱面所得的截线的不同情况答案：圆圆或椭圆6有下列说法矩形的平行射影一定是矩形；梯形的平行射影一定是梯形；平行四边形的平行射影可能是正方形；正方形的平行射影一定是菱形；其中正确命题有_(填上所有正确说法的序号)解析：利用平行射影的概念和性质进行判断答案：7在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13.若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为_解析：如图，为圆柱的轴截面，ab为与两球o1和球o2都相切的平面与轴截面的交线，由对称性知ab过圆柱的几何中心o.由o1ood，o1coa，故oo1caod，且o1cod6，所以rtoo1crtaod，则aoo1o.故ab2ao2o1oo1o213.显然ab即为椭圆的长轴，所以ab13.答案：13三、解答题8abc是边长为2的正三角形，bc平面，a、b、c在的同侧，它们在内的射影分别为a、b、c，若abc为直角三角形，bc与间的距离为5，求a到的距离解：由条件可知abac，bac90.设aax，在直角梯形aacc中，ac24(5x)2，由ab2ac2bc2，得24(x5)24，x5.即a到的距离为5.9若圆柱的一正截面的截线为以3为半径的圆，圆柱的斜截面与轴线成60，求截线椭圆的两个焦点间的距离解：设椭圆长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则b3，a326，c2a2b2623327.两焦点间距离2c26.10.如图所示，圆锥侧面展开图扇形的中心角为，ab、cd是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过cd和母线vb的中点e作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线？解：设o的半径为r，母线val，则侧面展开图的中心角为，圆锥的半顶角.连接oe，o、e分别是ab、vb的中点，oeva，voeavo.又abcd，vocd，cd平面vab.平面cde平面vab.即平面vab为截面cde的轴面，voe为截面与轴线所夹的角，即为.又圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，故截面cde与圆锥的截线为一抛物线模块综合检测对应学生用书p45 (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1rtabc中，cd是斜边ab上的高，该图中只有x个三角形与abc相似，则x的值为()a1b2c3 d4解析：由题所给图形为射影定理的基本图形，acd、bcd均与abc相似答案：b2已知：如图，abcd中，efac交ad、dc于e、f，ad，bf的延长线交于m，则下列等式成立的是()aad2aeambad2cfdccad2bcabdad2aeed解析：在abcd中，adbc，abdc.dfab，.dmbc，.efac，.，ad2aeam.答案：a3对于半径为4的圆在平面上的投影的说法错误的是()a射影为线段时，线段的长为8b射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8c射影为椭圆时，椭圆的长轴可能为8d射影为圆时，圆的直径可能为4解析：由平行投影的性质易知射影为圆时，直径为8.答案：d4如图，用平面去截圆锥，所得截面的形状是()解析：用平面去截圆锥，如题图：平面与圆锥的侧面截得一条弧线，与底面截得一条线段，所以截面的形状应该是d.答案：d5如图，pa，pb是o的切线，ac是o的直径，p50，则boc的度数为()a50 b25c40 d60解析：因为pa，pb是o的切线，所以oapobp90，而p50，所以aob360909050130，又因为ac是o的直径，所以boc18013050.答案：a6.如图，已知o的直径ab与弦ac的夹角为35，过c点的切线pc与ab的延长线交于点p，那么p等于()a15 b20c25 d30解析：oaoc，a1，poc2a70.ocpc，p90poc20.答案：b7如图，ab为o的直径，c为o上一点，ad和过c点的切线互相垂直，垂足为d，dab80，则aco等于()a30 b35c40 d45解析：cd是o的切线，occd.又adcd，ocad，由此得acocad.ocoa，caoaco，cadcao.故ac平分dab，cao40.又acocao，aco40.答案：c8.(天津高考)如图，abc是圆的内接三角形，bac的平分线交圆于点d，交bc于点e，过点b的圆的切线与ad的延长线交于点f.在上述条件下，给出下列四个结论：bd平分cbf；fb2fdfa；aecebede；afbdabbf.则所有正确结论的序号是()a bc d解析：因为badfbd，dbcdac，又ae平分bac，即baddac，所以fbddbc，所以bd平分cbf，结论正确；易证abfbdf，所以，所以abbfafbd，结论正确；由切割线定理，得bf2afdf，结论正确；由相交弦定理，得aedebece，结论错误选d.答案：d9如图，p为圆外一点，pa切圆于点a，pa8，直线pcb交圆于c，b两点，且pc4， adbc，垂足为点d，abc，acb，连接ab，ac，则等于()a. b.c2 d4解析：由pa2pcpb，有644pb，pb16.又abc，acb，adbc，ab，ac.在pab和pca中，bpac，p为公共角，pabpca.，即.答案：b10如图，在abc中，adbc于d，下列条件：bdac90，bdac，ab2bdbc.其中一定能够判定abc是直角三角形的共有()a3个 b2个c1个 d0个解析：验证法：不能判定abc为直角三角形，因为bdac90，而bdab90，则baddac，同理bc，不能判定baddac等于90；而中bdac，c为公共角，则abcdac，又dac为直角三角形，所以abc为直角三角形；在中，由可得acdbad，则badc，bdac，所以baddac90；而中ab2bdbc，即，b为公共角，则abcdba，即abc为直角三角形所以正确命题有3个答案：a二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上)11(广东高考)如图，圆o的半径为1，a、b、c是圆周上的三点，满足abc30，过点a作圆o的切线与oc的延长线交于点p，则pa_.解析：如图，连接oa.由abc30，得aoc60，在直角三角形aop中，oa1，于是paoatan 60.答案：12如图，ab是o的直径，ab10，bd8，则cos bce_.解析：如图，连接ad.则adb90，且dacb，所以cos bcecos dab.答案：13如图，ab是直径，cdab于d，cd4，addb31，则直径的长为_解析：因为ab是直径，cdab于d，所以cd2adbd.因为addb31，设dbx，则ad3x.所以(4)23xx.所以x4.所以ab16.答案：1614.如图，abc中，adbc，连接cd交ab于e，且aeeb12，过e作efbc交ac于f，若sade1，则saef_.解析：adbc，adebce.efad，.ade与afe的高相同，.saef.答案：三、解答题(本大题共4个小题，满分50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)如图，已知在梯形abcd中，adbc，e是cd的中点，efbc交ab于f，fgbd交ad于g.求证：agdg.证明：adefbc，e是cd的中点，f是ab的中点又fgbd，g是ad的中点agdg.16(本小题满分12分)如图，ae是圆o的切线，a是切点，adoe于d，割线ec交圆o于b，c两点(1)证明：o，d，b，c四点共圆；(2)设dbc50，odc30，求oec的大小解：(1)证明连接oa，oc，则oaea.由射影定理得ea2edeo.由切割线定理得ea2ebec，故edeoebec，即，又deboec，所以bdeoce，所以edboce，因此o，d，b，c四点共圆(2)连接ob.因为oecocbcoe180，结合(1)得oec180ocbcoe180obcdbe180obc(180dbc)dbcodc20.17(新课标全国卷)(本小题满分12分)如图，四边形abcd是o的内接四边形，ab的延长线与dc的延长线交于点e，且cbce.(1)证明：de; (2)设ad不是o的直径，ad的中点为m，且mbmc，证明：ade为等边三角形证明：(1)由题设知a，b，c，d四点共圆，所以dcbe.由已知cbce得cbee，故de.(2)设bc的中点为n，连接mn，则由mbmc知mnbc，故o在直线mn上又ad不是o的直径，m为ad的中点，故omad，即mnad.所以adbc，故acbe.又cbee，故ae.由(1)知，de，所以ade为等边三角形18(本小题满分14分)如图所示，已知pa与o相切，a为切点，pbc为割线，弦cdap，ad、bc相交于e点，f为ce上一点