人教A版选修41 第2讲 5 与圆有关的比例线段 学案.doc

五与圆有关的比例线段1会论证相交弦、割线、切割线、切线长定理(重点)2能运用相交弦、割线、切割线、切线长定理进行计算与证明(重点、难点)基础初探教材整理1相交弦定理阅读教材p34p35“定理”及以上部分，完成下列问题1文字语言圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等2图形语言如图251，弦ab与cd相交于p点，则papbpcpd.图251ab是o的直径，弦cdab，垂足为m，am4，bm9，则弦cd的长为_【解析】根据相交弦定理，ambm2，所以6，cd12.【答案】12教材整理2割线定理阅读教材p35p36“割线定理”及以上部分，完成下列问题1文字语言从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等2图形语言如图252，o的割线pab与pcd，则有papbpcpd.图252如图253，o的弦ed，cb的延长线交于点a.若bdae，ab4，bc2，ad3，则de_.图253【解析】由割线定理知，abacadae，即463(3de)，解得de5.【答案】5教材整理3切割线定理阅读教材p36“切割线定理”及以上部分，完成下列问题1文字语言从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项2图形语言如图254，o的切线pa，切点为a，割线pbc，则有pa2pbpc.图254如图255，p是o外一点，pa与o相切于点a，过点p的直线l交o于b，c，且pb4，pc9，则pa等于()图255a4b6c9d36【解析】由切割线定理知，pa2pbpc4936，pa6.【答案】b教材整理4切线长定理阅读教材p36p40，完成下列问题1文字语言从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角2图形表示 :学 如图256，o的切线pa，pb，则papb，opaopb.图256质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型切割线定理如图257所示，已知ad为o的直径，ab为o的切线，割线bmn交ad的延长线于c，且bmmnnc，若ab2.求：图257(1)bc的长；(2)o的半径r.【精彩点拨】【自主解答】(1)不妨设bmmnncx.根据切割线定理，得ab2bmbn，即22x(xx)，解得x，bc3x3.(2)在rtabc中，ac，由割线定理，得cdaccncm，由(1)可知，cn，bc3，cmbcbm32，ac，cd，r(accd).1解答本题的关键是先根据切割线定理求bc.2切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等再练一题1(2016唐山期末)如图258，abc内接于o上，abac，adab，ad交bc于点e，点f在da的延长线上，afae，求证：(1)bf是o的切线；(2)be2aedf. 【导学号：07370045】图258【证明】(1)连接bd.因为adab，所以bd是o的直径因为aeaf，所以fbaeba.又因为abac，所以ebac.又因为cd，dabd90，所以fbaabd90，即fbd90，所以bf是o的切线(2)由切割线定理，得bf2afdf.因为afae，bebf，所以be2aedf.切线长定理如图259，ab是o的直径，c是o上一点，过点c的切线与过a，b两点的切线分别交于点e，f，af与be交于点p.图259求证：epcebf.【精彩点拨】【自主解答】ea，ef，fb是o的切线，eaec，fcfb.ea，fb切o于a，b，ab是直径，eaab，fbab，eafb，cpfb，epcebf.1解答本题的关键是利用对应线段成比例得到cpfb.2运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即(1)切线长相等，(2)圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明 再练一题2.如图2510所示，已知o的外切等腰梯形abcd，adbc，abdc，梯形中位线为ef.图2510(1)求证：efab；(2)若ef5，adbc14，求此梯形abcd的面积【解】(1)证明：o为等腰梯形abcd的内切圆，adbcabcd.ef为梯形的中位线，adbc2ef.又abdc，2ef2ab，efab.(2)ef5，ab5，adbc10.adbc14，ad2，bc8.作ahbc于h，则bh(bcad)(82)3.在rtabh中，ah4，s梯形abcdefah5420.探究共研型相交弦定理探究1能否用三角形相似证明相交弦定理？【提示】能如图，o的弦ab，cd相交于p点，连接ad，bc，则apdcpb.故有，即papbpcpd.探究2垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间有何关系？【提示】如图，pa，pb为o的两条切线，a，b为切点，pcd为过圆心o的割线，连接ab，交pd于点e，则有下列结论：(1)pa2pb2pcpdpepo；(2)ae2be2deceoepe；(3)若ac平分bap，则c为pab的内心；(4)oa2oc2oeopod2；(5) ，pdab；(6)aopbop，apdbpd.(2016南京、盐城模拟)如图2511，ab，cd是半径为1的圆o的两条弦，它们相交于ab的中点p，若pc，op，则pd_.图2511【精彩点拨】由垂径定理知opab，由勾股定理知pb，由相交弦定理得pd.【自主解答】p为ab中点，opab，pb，又pcpdpapbpb2，由pc，得pd.【答案】1解答本题的关键是先用勾股定理求pb，再用相交弦定理求pd.2相交弦定理的运用往往与相似形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明 再练一题3如图2512，pc切o于点c，割线pab经过圆心o，弦cdab于点e，pc4，pb8，则cd_.图2512【解析】由于pc切o于点c，由切割线定理得pc2papb，所以pa2，abpbpa826，由于cdab，且ab为圆o的直径，由垂径定理知cede.设aex，由相交弦定理得cedeaebex(6x)，即ce2x(6x)，由勾股定理得ce2pc2pe242(x2)2，故有x(6x)42(x2)2，解得x，ce2，ce，cd2ce.【答案】构建体系1点c在o的弦ab上，p为o上一点，且occp，则()aoc2cacbboc2papbcpc2papbdpc2cacb 【解析】根据occp，可知c为弦pc的中点，再由相交弦定理即有pc2cacb.【答案】d2如图2513，acb90，cdab于点d，以bd为直径的圆与bc交于点e，则()acecbaddbbcecbadabcadabcd2dceebcd2 :学, , 图2513【解析】在直角三角形abc中，根据直角三角形射影定理可得cd2addb，再根据切割线定理可得cd2cecb，所以cecbaddb.【答案】a3.如图2514，ab是圆o的直径，过a，b的两条弦ad和be相交于点c，若圆o的半径是3，那么acadbcbe的值等于_【导学号：07370046】图2514【解析】由相交弦定理得accdbcce，acadac(accd)ac2accdac2bcceae2ce2bcceae2ce(cebc)ae2bece，acadbcbeae2becebcbeae2be(cebc)ae2be2ab236.【答案】364如图2515，在abc中，acb90，a60，ab20，过c作abc的外接圆的切线cd，bdcd，bd与外接圆交于点e，则de的长为_图2515【解析】在rtacb中，acb90，a60，abc30.ab20，ac10，bc10.cd为切线，bcda60.bdc90，bd15，cd5.由切割线定理得cd2debd，即(5)215de，de5.【答案】57如图2516所示，已知pa与o相切，a为切点，pbc为割线，d为o上的点，且adac，ad，bc相交于点e.图2516(1)求证：apcd；(2)设f为ce上的一点，且edfp，求证：ceebfeep.【证明】(1)adac，acdadc.又pa与o相切于点a，acdpad.padadc，apcd.(2)edfp，且fedaep，fedaep，feepaeed.又a，b，d，c四点均在o上，ceebaeed，ceebfeep.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1) :学 (2)学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1如图2517，o的两条弦ab与cd相交于点e，ec1，de4，ae2，则be()图2517a1b2c3d4【解析】由相交弦定理得aeebdeec，即2eb41，be2.【答案】b2pt切o于t，割线pab经过点o交o于a，b，若pt4，pa2，则cosbpt()a.b.c.d.【解析】如图所示，连接ot，根据切割线定理，可得pt2papb，即422pb，pb8，abpbpa6，otr3，popar5，cosbpt.【答案】a3如图2518，o的直径cd与弦ab交于p点，若ap4，bp6，cp3，则o的半径为()图2518a5.5 b5c6d6.5【解析】由相交弦定理知apbpcppd，ap4，bp6，cp3，pd8，cd3811，o的半径为5.5.【答案】a4如图2519，在rtabc中，c90，ac4，bc3.以bc上一点o为圆心作o与ac，ab都相切，又o与bc的另一个交点为d，则线段bd的长为() 【导学号：07370047】图2519a1b.c.d.【解析】观察图形，ac与o切于点c，ab与o切于点e，则ab5.如图，连接oe，由切线长定理得aeac4，故beabae541.根据切割线定理得bdbcbe2，即3bd1，故bd.【答案】c5.如图2520，ad，ae，bc分别与圆o切于点d，e，f，延长af与圆o交于另一点g.给出下列三个结论：图2520adaeabbcac；afagadae；afbadg.其中正确结论的序号是()a b cd【解析】项，bdbf，cecf，adaeacceabbdacabcfbfacabbc，故正确；项，adae，ad2afag，afagadae，故正确；项，延长ad于m，连接fd，ad与圆o切于点d，则gdmgfd，adgafdafb，则afb与adg不相似，故错误，故选a.【答案】a二、填空题6如图2521，已知ab和ac是圆的两条弦，过点b作圆的切线与ac的延长线交于d，过点c作bd的平行线与圆交于点e，与ab交于点f，af3，fb1，ef，则cd_.图2521【解析】因为afbfefcf，解得cf2，由cebd，得，所以，即bd.设cdx，ad4x，所以4x2，所以x.【答案】7如图2522，ab为圆o的直径，pa为圆o的切线，pb与圆o相交于d，若pa3，pddb916，则pd_，ab_.图2522【解析】由于pddb916，设pd9a，则db16a.根据切割线定理有pa2pdpb.又pa3，pb25a，99a25a，a，pd，pb5.在rtpab中，ab2pb2ap225916，故ab4.【答案】48如图2523所示，过点p的直线与o相交于a，b两点若pa1，ab2，po3，则o的半径等于_图2523【解析】设o的半径为r(r0)，pa1，ab2，pbpaab3.延长po交o于点c，则pcpor3r.设po交o于点d，则pd3r.由圆的割线定理知，papbpdpc，13(3r)(3r)，9r23，r.【答案】三、解答题9(2016山西四校联考)如图2524所示，pa为圆o的切线，a为切点，po交圆o于b，c两点，pa10，pb5，bac的角平分线与bc和圆o分别交于点d和e.图2524(1)求证：；(2)求adae的值【解】(1)证明：pa为圆o的切线，pabacp.又p为公共角，pabpca，.(2)pa为圆o的切线，pc是过点o的割线，pa2pbpc，pc20，bc15.又cab90，ac2ab2bc2225.又由(1)知，ac6，ab3，连接ec，则caeeab，aecabd.aceadb，.adaeabac3690.10如图2525，已知pa，pb切o于a，b两点，po4cm，apb60，求阴影部分的周长图2525【解】如图所示，连接oa，ob.pa，pb是o的切线，a，b为切点，papb，paopbo，apoapb，在rtpao中，appocos42 (cm)，oapo2 (cm)，pb2 (cm)apo，paopbo，aob，laobr2(cm)，阴影部分的周长为papbl22(cm)能力提升1如图2526，已知pt切o于点t，tc是o的直径，割线pba交tc于点d，交o于b，a(b在pd上)，da3，db4，dc2，则pb等于()【导学号：07370048】图2526a20b10c5d8【解析】da3，db4，dc2，由相交弦定理得dbdadcdt，即dt6.因为tc为o的直径，所以ptdt.设pbx，则在rtpdt中，pt2pd2dt2(4x)236.由切割线定理得pt2pbpax(x7)，所以(4x)236x(x7)，解得