人教A版选修45 1.2.1 绝对值三角不等式 课件（21张）.ppt

二绝对值不等式 1 绝对值三角不等式 1 2 3 1 绝对值的几何意义 1 实数a的绝对值 a 表示数轴上坐标为a的点a到原点的距离 2 对于任意两个实数a b 设它们在数轴上的对应点分别为a b 那么 a b 的几何意义是数轴上a b两点之间的距离 即线段ab的长度 1 2 3 1 2 3 2 绝对值三角不等式 1 定理1 如果a b是实数 则 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 2 如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a b换成向量a b 当向量a b不共线时 由向量加法的三角形法则 向量a b a b构成三角形 因此有向量形式的不等式 a b a b 它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边 1 2 3 做一做 若 x a h y a k 则下列不等式一定成立的是 a x y 2hb x y 2kc x y h kd x y h k 解析 x y x a a y x a a y h k 答案 c 1 2 3 3 三个实数的绝对值不等式定理2 如果a b c是实数 那么 a c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 1 2 1 对绝对值三角不等式的理解剖析 绝对值三角不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝对值的和差的关系 我们可以类比得到另外一种形式 a b a b a b 和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab 0 ab 0 ab 0三种情况来确定的 其本质是叙述在两个实数符号的各种情形下得到的结果 即这个定理本身就是一个分类讨论问题 数 分正 负 零各种不同情况讨论 往往在所难免 因此 对绝对值的认识要有分类讨论的习惯 1 2 2 对绝对值三角不等式几何意义的理解剖析 用向量a b替换实数a b时 问题就从一维扩展到二维 当向量a b不共线时 a b a b构成三角形 有 a b a b 当向量a b共线时 若a b同向 相当于ab 0 时 则 a b a b 若a b异向 相当于ab 0 时 则 a b a b 这些都是利用了三角形的性质定理 如两边之和大于第三边等 这样处理 可以形象地描绘绝对值三角不等式 更易于记忆定理 并应用定理解题 绝对值三角不等式体现了 放缩法 的一种形式 但放缩的 尺度 还要仔细把握 如下面的式子 a b a b a b a b 我们较为常用的形式是 a b a b a b 但有些学生就会误认为只能如此 而实质上 a b 是不小于 a b 的 题型一 题型二 题型三 例1 设a b r 且 a b 1 1 a 2b 4 4 求 a b 的最大值 分析 解决本题的关键是灵活运用绝对值三角不等式的性质 因为a b的符号不确定 所以需要分ab 0和ab 0进行讨论 解 a b a b 1 1 a b 1 1 1 1 2 a b 3 a b 1 2 a 2b 4 5 3 a b 1 2 a 2b 4 5 3 1 2 4 5 16 当ab 0时 a b a b 2 当ab0 a b a b a b 16 总之 恒有 a b 16 而a 8 b 8时 满足 a b 1 1 a 2b 4 4 且 a b 16 因此 a b 的最大值为16 题型一 题型二 题型三 反思 a b a b 等号成立的条件为ab 0 应用时要注意与以前学过的知识的联系与区别 a c的变形要记住 a c a b b c 从而不等式 a b a b 可以变形为 a c a b b c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 题型一 题型二 题型三 变式训练1 若 a c c a d b a c 解析 a c 0 b b a c a c a c b 由b成立 得 c a b b c a b 即 c a b b 故c成立 由a成立知d不成立 故选d 答案 d 题型一 题型二 题型三 分析 解决本题的关键是对题设条件的理解和运用 a b 和1这三个数中哪一个最大 如果两两比较大小 将十分复杂 但我们可以得到一个重要的信息 m a m b m 1 题型一 题型二 题型三 反思分析题目时 题目中的语言文字是我们解题信息的重要来源与依据 而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言 翻译 转化而来 那么准确理解题目中的文字语言 适时准确地进行转化也就成了解题的关键 如本题题设条件中的文字语言 m等于 a b 和1中最大的一个 转化为符号语言 m a m b m 1 是证明本题的关键 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 分析 1 借助定义判别函数f x 的单调性 2 利用绝对值三角不等式解决 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思此类题目综合性强 不仅用到绝对值不等式的性质 推论及已知条件 还要用到