人教A版选修41 第1讲 4 直角三角形的射影定理 学案.doc

四直角三角形的射影定理1了解射影定理的推导过程2会用射影定理进行相关计算与证明(重点、难点)基础初探教材整理1射影的相关概念阅读教材p20“探究”以上部分，完成下列问题1点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影. 2线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段3射影：点和线段的正射影简称为射影教材整理2射影定理阅读教材p20p22“习题”以上部分，完成下列问题1文字语言直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项2图形语言如图141，在rtabc中，cd为斜边ab上的高，图141则有cd2adbd.ac2adab.bc2bdab.如图142，在rtabc中，accb，cdab于d且cd4，则addb()图142a16b4c2d不确定【解析】由射影定理addbcd24216.【答案】a质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型与射影定理有关的计算已知cd是直角三角形abc斜边ab上的高，如果两直角边ac，bc的长度比为acbc34.(1)求adbd的值；(2)若ab25 cm，求cd的长【精彩点拨】先根据acbc与adbd之间的关系求出adbd的值；再根据斜边ab的长及adbd的值分别确定ad与bd的值最后由射影定理cd2adbd，求得cd的长【自主解答】(1)ac2adab，bc2bdab，22，即adbd916.(2)ab25 cm，adbd916，ad259(cm)，bd2516(cm)，cd12(cm)1解答本题(1)时，关键是把转化为2.2解此类题目的关键是反复利用射影定理求解直角三角形中有关线段的长度在解题时，要紧抓线段比之间的关系及线段的平方与乘积相等这些条件，紧扣等式结构形式，达到最终目的再练一题1如图143，在rtabc中，cd为斜边ab上的高，若ad2 cm，db6 cm，求cd，ac，bc的长. 【导学号：07370019】图143【解】cd2addb2612，cd2(cm)ac2adab2(26)16，ac4(cm)bc2bdab6(26)48，bc4(cm)故cd，ac，bc的长分别为2 cm,4 cm，4 cm.探究共研型射影定理探究1除了用直角三角形相似的判定定理证明射影定理之外，你能用勾股定理证明吗？【提示】如图，在rtabc中，ab2ac2bc2，(adbd)2ac2bc2，ad22adbdbd2ac2bc2，2adbdac2ad2bc2bd2.ac2ad2cd2，bc2bd2cd2，2adbd2cd2.cd2adbd.在rtacd中，ac2ad2cd2ad2adbdad(adbd)adab.同理可证bc2bdab.探究2直角三角形射影定理的逆定理是什么？如何证明？【提示】直角三角形射影定理的逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形符号表示：如图，在abc中，cdab于d，若cd2adbd，则abc为直角三角形证明如下：cdab，cdabdc90.又cd2adbd，即adcdcdbd，acdcbd，cadbcd.又acdcad90，acbacdbcdacdcad90，即abc为直角三角形如图144所示，已知在abc中，acb90，cdab于d，deac于e，dfbc于f.图144求证：cd3aebfab.【精彩点拨】acb90，cdabcd2addbcd3aebfab.【自主解答】bca90，cdba，cd2adbd.又deac，dfbc，ad2aeac，bd2bfbc，cd4ad2bd2aeacbfbcaebfacbc.而sabcacbcabcd，cd4aebfabcd，即cd3aebfab.1解答本题的关键是利用sabcacbcabcd进行转化2在证明与直角三角形有关的问题时，常用射影定理来构造比例线段，从而为证明三角形相似创造条件再练一题2在本例条件不变的情况下，求证：.【证明】根据题意可得，decf，cedf，de2aece，df2bfcf，de2bfcfdf2aece，de3bfdf3ae，即.构建体系1如图145所示，在rtabc中，acb90，cdab于点d，cd2，bd3，则ac等于()图145a.b.c.d.【解析】由射影定理知，cd2bdad，ad，abadbd，ac2adab，ac.【答案】c2在abc中，acb90，cd是ab边上的高，bc cm，bd3 cm，则ad的长是()【导学号：07370020】a5 cm b2 cmc6 cmd24 cm【解析】bc2bdab，153ab，即ab5，adabbd532(cm)【答案】b3在rtabc中，cd为斜边ab上的高，若bd3 cm，ac2 cm，则cd和bc的长分别为_图146【解析】设adx，则由射影定理得x(x3)4，即x1(负值舍去)，则cd(cm)，bc2(cm)【答案】cm,2cm4如图147，圆o上一点c在直径ab上的射影为d，点d在半径oc上的射影为e，若ab3ad，则的值为_图147【解析】设圆o的直径ab2r，则ad，do，db.由相交弦定理，得cd2addb，所以cdr.在rtcdo中，cor，由射影定理可得eo，于是cer，故8.【答案】85如图148所示，d为abc中bc边上的一点，cadb，若ad6，ab10，bd8，求cd的长图148【解】在abd中，ad6，ab10，bd8，满足ab2ad2bd2，adb90，即adbc. 又cadb，且ccad90.cb90，即bac90.故在rtbac中，adbc，由射影定理知ad2bdcd，即628cd，cd.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1在abc中，acb90，cdab于d，ad3，bd2，则acbc的值是()a32b94c.d.【解析】如图，在rtacb中，cdab，由射影定理知ac2adab，bc2bdab，又ad3，bd2，abadbd5，ac23515，bc22510. ，即acbc，故选c.【答案】c2.如图149所示，在abc中，acb90，cdab，d为垂足，若cd6，addb12，则ad的值是()图149a6 b3c18d3【解析】由题意知ad218，ad3.【答案】b3一个直角三角形的一条直角边为3 cm，斜边上的高为2.4 cm，则这个直角三角形的面积为()【导学号：07370021】a7.2 cm2 b6 cm2c12 cm2d24 cm2【解析】长为3 cm的直角边在斜边上的射影为1.8(cm)，由射影定理知斜边长为5(cm)，三角形面积为52.46(cm2)【答案】b4在rtabc中，bac90，adbc于点d，若，则等于()a.b. c.d.【解析】如图，由射影定理，得ac2cdbc，ab2bdbc，2，即，.【答案】c5在rtacb中，acb90，cdab于d，若bdad14，则tanbcd的值是()【导学号：07370022】a. b.c.d2【解析】如图，由射影定理得cd2adbd.又bdad14，令bdx，则ad4x(x0)，cd2adbd4x2，cd2x，在rtcdb中，tanbcd. 【答案】c二、填空题6如图1410，在矩形abcd中，aebd，ofab.deeb13，ofa，则对角线bd的长为_图1410 【解析】ofa，ad2a.aebd，ad2debd.deeb13，debd，ad2bdbd，bd24ad244a216a2，bd4a.【答案】4a7如图1411，已知rtabc的两条直角边ac，bc的长分别为3 cm，4 cm，以ac为直径的圆与ab交于点d，则bd_cm.图1411【解析】连接cd，则cdab.由ac3 cm，bc4 cm，得ab5 cm.由射影定理得bc2bdba，即425bd.所以bd cm.【答案】8已知在梯形abcd中，dcab，d90，acbc，ab10 cm，ac6 cm，则此梯形的面积为_【解析】如图，过c点作ceab于e.在rtacb中，ab10 cm，ac6 cm，bc8 cm，be6.4 cm，ae3.6 cm，ce4.8(cm)，ad4.8 cm.又在梯形abcd中，ceab，dcae3.6 cm.s梯形abcd32.64(cm2)【答案】32.64 cm2三、解答题9已知直角三角形周长为48 cm，一锐角平分线分对边为35两部分. (1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长【解】(1)如图，设cd3x，bd5x，则bc8x，过d作deab，由题意可得，de3x，be4x，aeac12x48.又aeac，ac246x，ab242x，(246x)2(8x)2(242x)2，解得x10(舍去)，x22，ab20，ac12，bc16，三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm.(2)作cfab于f，ac2afab，af(cm)同理bf(cm)两直角边在斜边上的射影长分别为 cm， cm.10如图1412所示，cd垂直平分ab，点e在cd上，dfac，dgbe，点f，g分别为垂足求证：afacbgbe.图1412【证明】cd垂直平分ab，acd和bde均为直角三角形，并且adbd.又dfac，dgbe，afacad2，bgbedb2.ad2db2，afacbgbe.能力提升1已知直角三角形中两直角边的比为12，则它们在斜边上的射影比为()a12b21c14d41【解析】设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为，两直角边在斜边上的射影分别为和.【答案】c2已知rtabc中，斜边ab5 cm，bc2 cm，d为ac上一点，deab交ab于e，且ad3.2 cm，则de()a1.24 cm b1.26 cmc1.28 cmd1.3 cm【解析】如图，aa，rtadertabc，de1.28.【答案】c3如图1413所示，在rtabc中，acb90，cdab，ac6，ad3.6，则bc_.图1413【解析】由射影定理得，ac2adab，bc2bdab，即bc2.又