人教A版选修45 3.2一般形式的柯西不等式 课时作业 .doc

人教新课标a版选修4-5数学3.2一般形式的柯西不等式同步检测一.选择题1. 设a ， b ， c0，且abc1，则 的最大值是( )a. 1 b. c. 3 d. 9【答案】b【解析】由柯西不等式得，当且仅当时等号成立，的最大值为，故选b.2. n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是( )a. 1 b. n c. n2 d. 【答案】c【解析】由柯西不等式，得 ，当且仅当时取等号，故选c.3. 若实数xyz1，则2x2+y2+3z2 的最小值为( )a. 1 b. 6 c. 11 d. 【答案】d .4. 若实数a ，b ，c均大于0，且abc3，则 的最小值为( )a. 3 b. 1 c. d. 【答案】d【解析】，当且仅当时等号成立，故选d.5. 已知abc1，且a ， b ， c0，则 的最小值为( )a. 1 b. 3 c. 6 d. 9【答案】d【解析】 ，当且仅当时等号成立，故选d.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.6. 已知实数a ， b ， c ， d满足abcd3，a2+2b2+3c2+6d2=5 ，则a的最大值是( )a. 1 b. 2 c. 3 d. 4【答案】b解：根据柯西不等式，得（2b2+4c2+4d2）（+）（b+c+d）2当且仅当2b=4c=4d时，等号成立a+b+c+d=3，a2+2b2+4c2+4d2=55a2（3a）2，解之得1a2，当且仅当2b=4c=4d且b+c+d=1时，即当b=，c=d=时，a有最大值2故选b点评：本题在a+b+c+d=3，a2+2b2+4c2+4d2=5的情况下，求实数a的最大值，着重考查了柯西不等式及其应用，属于中档题，解题时应该注意柯西不等式等号成立的条件二.填空题7. 函数 的最小值为_【答案】25【解析】 ，故答案为.【方法点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答8. 设x ，y ，zr，2x2yz80，则(x-1)2+(y+2)2+（z-3)2 的最小值为_.【答案】9【解析】试题分析：利用柯西不等式即可得出解：由柯西不等式可得：（x1）2+（y+2）2+（z3）2（22+22+12）2（x1）+2（y+2）+1（z3）2=（2x+2y+z1）2=（81）2，化为（x1）2+（y+2）2+（z3）29，当且仅当，且2x+2y+z+8=0，即x=1，y=2，z=2时取等号故（x1）2+（y+2）2+（z3）2之最小值为8故答案为8点评：本题考查了柯西不等式的应用，属于基础题三.解答题9. 已知 a,b 为实数,且 a0,b0 , (1)求证: ; (2)求(5-2a)2+4b2+(a-b)2 的最小值.【答案】（1）见解析（2） 【解析】试题分析：（1）先利用基本不等式可得，可得 ，再次利用基本不等式可得结论；（2）原不等式左边化为. ，利用柯西不等式求解即可.试题解析：（1）证明:因为a0,b0,所以 （2）解：(5-2a)2+4b2+(a-b)2 12+12+22 (5-2a)1+2b1+(a-b)22 ,所以当且仅当 时取等号,解得所以当时取最小值 .当时取最小值. 10. 设2x3y5z29，求函数 的最大值.【答案】 【解析】试题分析：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件，本题采取如下方法将原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答. 试题解析：根据柯西不等式1203(2x1)(3y4)(5z6) ，故 .当且仅当2x13y45z6，即，时等号成立，此时 . 11. 设a ， b ， c为正数，且不全相等.求证： .【答案】见解析【解析】试题分析：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是柯西不等式的结构特征可以记为 ，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键. 试题解析：本题考查三维形式的柯西不等式的应用.解答本题需要构造两组数据， ， ；， ，然后利用柯西不等式解决.构造两组数， ， ；，,则由柯西不等式得，即 ，于是 .由柯西不等式知，中有等号成立 .因题设，a ， b ， c不全相等，故中等号不成立，于是. 12. 设a ， b ， c为正数，求证： .【答案】见解析【解析】试题分析：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件构造一般形式的柯西不等式 计算即可 .试题解析：，即 ，又a ， b ， cr ， abc0， . 【方法点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题.解决问题的关键是柯西不等式的结构特征可以记为 ，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键.13. 设三个正实数a ， b ， c ， 满足 ，求证：a ， b ， c一定是某一个三角形的三条边的长；设n个正实数 a1,a2,.an 满足不等式 (其中 )，求证： a1,a2,.an 中任何三个数都是某一个三角形的三条边的长.【答案】见解析见解析【解析】试题分析：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是：根据所给条件作差，、分解因式结合三角形三边关系判断即可；设法把 中任何三个的关系转化为条件即可.试题解析：由题意，得 ，所以(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)0 ，由于 a,b,c0 ，所以上面不等式左边至少有三项为正数，而四项之积为正，故这四项都是正数，从而推出 a+bc,b+ca,a,b,c0，即 a,b,c 是某一个三角形的三条边的长.设法把 a1,a2,.an 中任何三个的关系转化为的条件即可.由已知及柯西不等式，得.所以， .那么由可知， a1,a2,a3 是某个三角形三条边的长，再由对称性可知 a1,a2,.an 中任何三个数都可以作为某一个三角形三条边的长. 14. 已知a ， b ， cr ， 且abc1，求的最大值.【答案】 【解析】略15. 设 ，若0a1，nn且n2，求证：f(2x)2f(x).【答案】见解析【解析】试题分析：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，本题的解答是利用分析法，解决问题的关键是将 f(2x)2f(x)转化为，然后再根据对数函数 单调性进一步化简，搭配成柯西不等式形式，证明即可.试题解析：，要证f(2x)2f(x)，只要证 ，即证 (*)也即证n12x22x(n1)2xan2x1x2x(n1)xanx2 ， 0a1，aa2 ， 根据柯西不等式得n12x22x(n1)2xan2x，1x2x(n1)xanx2 ， 即(*)式显然成立，故原不等式成立. 【方法点睛】本题主要考查柯西不等式的应用以及利用分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的主要事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词.16. 设x1,x2,.xn 都是正实数，且x1+x2+.+xn=s .求证： .【答案】见解析【解析】试题分析：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是构造一般形式的柯西不等式计算证明即可.本题结合题设 ，将变形为柯西不等式的一般形式，从而利用柯西不等式证明即可.试题解析：证法一：根据柯西不等式，得不等式左边=不等式右边.原不等式成立.证法二： a0 ，则 ， . .n个式子相加，有.原不等式成立. 17. 已知a1 ， a2 ， ，an都是正实数，且a1a2an1.求证： .【答案】见解析【解析】试题分析：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件利用 将构造.柯西不等式的一般形式求解即可.试题解析：根据柯西不等式，得左功(a1+a2)+(a2+a3)+.+(an-1+an)+(an+a1)右边.原不等式成立. 18. 已知二次三项式f(x)=ax2+bx+c 的所有系数均为正数，且abc1，求证：对于任何正数 x1,x2 ，当 时，必有 .【答案】见解析【解析】试题分析：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是利用所给条件解析变换如何根据一般形式的柯西不等式计算证明即可，本题先利用柯西不等式放缩不等式，再利用及 化简即可的结果.试题解析：.故. 19. 若 ，求证 .【答案】见解析【解析】试题分析：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是利用所给条件解析变换如何根据一般形式的柯西不等式 计算证明即可.试题解析：左边右边，故原不等式成立. 20. 在abc中，设其各边长分别为a ， b ， c ， 外接圆半径为r ， 求证： .【答案】见解析【解析】试题分析：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件结合正弦定理 ，将原不等式左边构