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3 3 1实数指数幂及其运算 复习引入 1初中学习的正整数指数2正整数指数幂的运算法则 1 2 3 4 思考讨论 对于 3 中如果将没m n的去掉 情况会变成怎样的 规定 分数指数 1 回顾初中学习的平方根 立方根的概念方根概念推广 如果存在实数x使得则x叫做a的n次方根 求a的n次方根 叫做把a开n次方 称作开方运算 有理数指数幂 2 当n为奇数时 a 当n为偶数时 a 正分数指数幂的意义 我们给出正数的正分数指数幂的定义 a 0 m n n 且n 1 注意 底数a 0这个条件不可少 若无此条件会引起混乱 例如 1 1 3和 1 2 6应当具有同样的意义 但由分数指数幂的意义可得出不同的结果 1 1 这就说明分数指数幂在底数小于0时无意义 用语言叙述 正数次幂 m n n 且n 1 等于这个正数的m次幂的n次算术根 负分数指数幂的意义 回忆负整数指数幂的意义 a n a 0 n n 正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿 就是 a 0 m n n 且n 1 规定 0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂没有意义 注意 负分数指数幂在有意义的情况下 总表示正数 而不是负数 负号只是出现在指数上 有理指数幂的运算性质 我们规定了分数指数幂的意义以后 指数的概念就从整数指数推广到有理数指数 上述关于整数指数幂的运算性质 对于有理指数幂也同样适用 即对任意有理数r s 均有下面的性质 ar as ar s a 0 r s q ar s ars a 0 r s q ab r arbr a 0 b 0 r q 说明 若a 0 p是一个无理数 则ap表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性质 对于无理数指数幂都适用 即当指数的范围扩大到实数集r后 幂的运算性质仍然是下述的3条 1 正数的正分数指数幂的意义 2 正数的负分数指数幂 3 0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂无意义 4 有理指数幂的运算性质1 ar as ar s a 0 r s q 2 ar s ar s a 0 r s q 3 a b r ar br a 0 b 0 r q 注意 以后当看到指数是分数时 如果没有特别的说明 底数都表示正数 例2 求值 分析 此题主要运用有理指数幂的运算性质 解 例3 用分数指数幂的形式表示下列各式 分析 此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质 解 例4 计算下列各式 式中字母都是正数 例4 计算下列各式 式中字母都是正数 解 1 计算下列各式 小结 指数概念的扩充 引入分数指数幂概念后 指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充 而且有理指数幂的运算性质对于无理指数幂也适用 这样指数概念就扩充到了整个实数范围 对于指数幂 当指数n扩大至有理数时 要注意底数a的变化范围 如当n 0时底数a 0 当n为负整数指数时 底数a 0 当n为分数时 底数a 0 分数指数幂的意义及运算性质 分数指数幂 教学重
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