人教A版选修45 第4讲 2用数学归纳法证明不等式举例 学案.doc

二用数学归纳法证明不等式举例1会用数学归纳法证明简单的不等式(重点)2会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件(难点)基础初探教材整理用数学归纳法证明不等式阅读教材p50p53，完成下列问题1贝努利(bernoulli)不等式如果x是实数，且x1，x0，n为大于1的自然数，那么有(1x)n1nx.2在运用数学归纳法证明不等式时，由nk成立，推导nk1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()a2b3c5d6【解析】n取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5.【答案】c质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型数学归纳法证明不等式已知sn1(n1，nn)，求证：s2n1(n2，nn). 【导学号：32750068】【精彩点拨】先求sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意sn表示前n项的和(n1)，首先验证n2；然后证明归纳递推【自主解答】(1)当n2时，s2211，即n2时命题成立(2)假设nk(k2，kn)时命题成立，即s2k11.当nk1时，s2k11111.故当nk1时，命题也成立由(1)(2)知，对nn，n2，s2n1都成立此题容易犯两个错误，一是由nk到nk1项数变化弄错，认为的后一项为，实际上应为；二是共有多少项之和，实际上 2k1到2k1是自然数递增，项数为2k1(2k1)12k.再练一题1若在本例中，条件变为“设f(n)1(nn)，由f(1)1， f(3)1，f(7)，f(15)2，” .试问：f(2n1)与大小关系如何？试猜想并加以证明【解】数列1,3,7,15，通项公式为an2n1，数列，1，2，通项公式为an，猜想：f(2n1).下面用数学归纳法证明：当n1时，f(211)f(1)1，不等式成立假设当nk(k1，kn)时不等式成立，即f(2k1)，当nk1时，f(2k11)f(2k1)f(2k1)当nk1时不等式也成立据知对任何nn原不等式均成立证明：2n2n2(nn)【精彩点拨】【自主解答】(1)当n1时，左边2124；右边1，左边右边；当n2时，左2226，右224，所以左右；当n3时，左23210，右329，所以左右因此当n1,2,3时，不等式成立(2)假设当nk(k3且kn)时，不等式成立，即2k2k2(kn)当nk1时，2k1222k22(2k2)22k22k22k1k22k3(k1)2(k1)(k3)，k3，(k1)(k3)0，(k1)2(k1)(k3)(k1)2，所以2k12(k1)2.故当nk1时，原不等式也成立根据(1)(2)知，原不等式对于任何nn都成立1本例中，针对目标k22k1，由于k的取值范围(k1)太大，不便于缩小因此，用增加奠基步骤(把验证n1扩大到验证n1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k3，促使放缩成功，达到目标2利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由nk到nk1的变形为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累再练一题2用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式均成立【证明】(1)当n2时，左边1；右边.左边右边，不等式成立；(2)假设nk(k2，且kn)时不等式成立，即.则当nk1时，.当nk1时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.不等式中的探索、猜想、证明若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论【精彩点拨】先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便【自主解答】当n1时，则，a.(1)n1时，已证(2)假设当nk时(k1，kn)，当nk1时，0，也成立由(1)(2)可知，对一切nn，都有，a的最大值为25.1不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明2本题中从nk到nk1时，左边添加项是.这一点必须清楚再练一题3设an1(nn)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1a2a3an1g(n)(an1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论【解】假设g(n)存在，那么当n2时，由a1g(2)(a21)，即1g(2)，g(2)2；当n3时，由a1a2g(3)(a31)，即1g(3)，g(3)3，当n4时，由a1a2a3g(4)(a41)，即1g(4)，g(4)4，由此猜想g(n)n(n2，nn)下面用数学归纳法证明：当n2，nn时，等式a1a2a3an1n(an1)成立(1)当n2时，a11，g(2)(a21)21，结论成立(2)假设当nk(k2，kn)时结论成立，即a1a2a3ak1k(ak1)成立，那么当nk1时，a1a2ak1akk(ak1)ak(k1)akk(k1)ak(k1)1(k1)(k1)(ak11)，说明当nk1时，结论也成立，由(1)(2)可知 ，对一切大于1的正整数n，存在g(n)n使等式a1a2a3an1g(n)(an1)成立构建体系归纳法证明不等式1数学归纳法适用于证明的命题的类型是()a已知结论b结论已知c直接证明比较困难d与正整数有关【解析】数学归纳法证明的是与正整数有关的命题故应选d.【答案】d2用数学归纳法证明不等式12(n2，nn)时，第一步应验证不等式()a12b12c12d.12【解析】n02时，首项为1，末项为.【答案】a3用数学归纳法证不等式1成立，起始值至少取() 【导学号：32750069】a7b8c9d10【解析】左边等比数列求和sn2，即1，n7，n取8，选b.【答案】b4用数学归纳法证明11)时，第一步证明不等式_成立【解析】因为n1，所以第一步n2，即证明12成立【答案】125试证明：12(nn)【证明】