人教B版必修5 数列 章末分层突破 学案.doc

章末分层突破自我校对无穷数列常数列通项公式法前n项和公式等比数列 等差(比)数列的基本运算在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，sn，其中a1和d(或q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(q)，an，sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.等比数列an中，已知a12，a416.(1)求数列an的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和sn.【精彩点拨】(1)由a1，a4求出公比q，写出an的通项公式.(2)列出关于b1，d的方程组，求解b1，d，进而写出bn，sn.【规范解答】(1)设an的公比为q，由已知得162q3，解得q2.an22n12n.(2)由(1)得a38，a532，则b38，b532.设bn的公差为d，则有解得所以bn1612(n1)12n28.所以数列bn的前n项和sn6n222n.再练一题1.已知等差数列an的公差d1，前n项和为sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若s5a1a9，求a1的取值范围.【解】(1)因为数列an的公差d1，且1，a1，a3成等比数列，所以a1(a12)，即aa120，解得a11或a12.(2)因为数列an的公差d1，且s5a1a9，所以5a110a8a1，即a3a1100，解得5a11时，ansnsn1k(cncn1)，则a6k(c6c5)，a3k(c3c2)，c38，c2.a24，即k(c2c1)4，解得k2，an2n.当n1时，a1s12.综上所述，an2n(nn).(2)nann2n，则tn2222323n2n，2tn122223324(n1)2nn2n1，两式作差得tn222232nn2n1.tn2(n1)2n1.再练一题3.已知正项数列an中，a11，点(，an1)(nn)在函数yx21的图象上，数列bn的前n项和sn2bn.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设cn，求cn的前n项和tn.【解】(1)点(nn)在函数yx21的图象上，an1an1，数列an是公差为1的等差数列.a11，an1(n1)n，sn2bn，sn12bn1，两式相减得：bn1bn1bn，即，由s12b1，即b12b1，得b11.数列bn是首项为1，公比为的等比数列，bn.(2)log2bn1log2n，cn，tnc1c2cn1.函数思想求解数列问题数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的思想解题.值得注意的是数列定义域是正整数集或其真子集，这一特殊性对问题结果可能造成影响.已知a12，点(an，an1)在函数f(x)x22x的图象上，其中n1,2,3，.(1)求证：数列lg(1an)是等比数列；(2)设tn(1a1)(1a2)(1an)，求tn及数列an的通项公式；(3)记bn，求数列bn的前n项和sn，并说明sn1.【精彩点拨】对于(1)，由条件知an1a2an，变形为an11(an1)2，两边取对数即可得证.对于(3)，由条件知an1a2anan(an2)，变形得，即得，所以bn2，由此sn可求.【规范解答】(1)证明：由已知得an1a2an，an11(an1)2.a12，an11，两边取对数得lg(1an1)2lg(1an)，即2.数列lg(1an)是公比为2的等比数列.(2)由(1)知lg(1an)2n1lg(1a1)2n1lg 3lg 32n1，1an3.(*)tn(1a1)(1a2)(1an)333332223由(*)式得an31. (3)an1a2an，an1an(an2)，.又bn，bn2，snb1b2bn22.an32n11，an132n1，又a12，sn1.又tn32n1，sn11.再练一题4.已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项. 【导学号：18082041】(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(nn)，snb1b2bn，是否存在t，使得对任意的n均有sn总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由.【解】(1)由题意得(a1d)(a113d)(a14d)2，整理得2a1dd2.d0，d2.a11.an2n1(nn).(2)bn，snb1b2bn.假设存