苏教版必修五 拓展1数列的前n项和求解方法 学案.doc

数列的前n项和求解方法_教学重点： 掌握数列前项和的求和方法，公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化求和法、并项求和等方法的应用。 教学难点： 了解数列求和的方法的应用。一、数列求和基本方法1拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和.2并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.3裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.4错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n项和公式的方法.5反序求和法：将一个数列的倒数第k项（k=1，2，3，n）变为顺数第k项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n项和公式的方法.二常用结论（1） 1+2+3+.+n = （2）1+3+5+.+(2n-1) = （3） （4） （5） （6）类型一： 用公式法、倒序相加法求数列的和例1. 求和：.解析：法一： 则 +有：法二： . 答案：见解析练习1. 求和.答案： 例2. 数列的前项和为，已知（）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（）设，求数列的前项和。解析：由得：，即，所以，对成立。由，相加得：，又，所以，当时，也成立。（）。而，答案：见解析练习2. 设，定义，其中nn*.（1）求数列an的通项公式；（2）若，答案：（1）2，数列an上首项为，公比为的等比数列，（2）两式相减得： 类型二： 错位相减、裂项相消、分组转化求和、并项求和等方法例3. 已知数列的通项公式，求它的前n项和.解析：=答案：见解析练习3. 已知数列的通项公式求它的前n项和.答案： 例4. 已知数列的各项为正数，其前n项和，（i）求之间的关系式，并求的通项公式；（ii）求证解析：i），而，得的等差数列，（ii）答案：见解析练习4. 设数列的前n项和为，点均在函数y3x2的图像上。（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。答案：（1）（2）满足要求的最小整数m为10。1. 求答案：2. 求数列，的前n项的和.答案： .3. 求和.答案：(1+2+3+n)+ =4. 求和.答案：当x=1时，sn=4n；当x1时， = =5. 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）若数列满足：=，求数列的前项和.答案：（）由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.（）=, 所以=+6. 已知数列的通项公式是项和为 答案：7. 已知的前n项和的值为 答案：67_基础巩固1. 求和：答案：2. 已知数列答案：为等比数列，应运用错位求和方法：3. 求和答案：而运用反序求和方法是比较好的想法， ，+得4. 若答案：5. 设函数求和：答案：当n为偶数时=当n为奇数时6. 设正项等比数列的首项，前n项和为，且。（）求的通项；（）求的前n项和。答案：（）由 得 即可得因为，所以 解得，因而 （）因为是首项、公比的等比数列，故则数列的前n项和 前两式相减，得 即 7. 已知数列的前项和为 ，点 在直线上，数列 满足 且其前 项和为. (1)求数列, 的通项公式；(2)设 ，数列的前n项的和为 ，求使不等式 对一切 都成立的最大正整数的值答案：（1），（2）故k的最大正整数值为18。8. 数列的前n项和为，且满足（i）求与的关系式，并求的通项公式；（ii）求和答案：（i）（ii）9. 将等差数列的所有项依次排列，并如下分组：（），（），（），其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，第n组有项，记tn为第n组中各项的和，已知t3=-48，t4=0，（i）求数列的通项公式； （ii）求数列tn的通项公式；（iii）设数列 tn 的前n项和为sn，求s8的值.答案：（i）设的公差为d，则，解、得 （ii）当时，在前n1组中共有项数为 第n组中的 （iii）能力提升10. 已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点（）令，求证：数列是等比数列并求数列的前项和为答案：（1）因为、在抛物线上，故，又因为直线的斜率为，即，代入可得， 故是以为公比的等比数列；，11. 数列an中，a1=1，且an+1 =sn（n1，nn*），数列bn是等差数列，其公差d0，b1=1，且b3、b7+2、3b9成等比数列（）求数列an、bn的通项公式；（）设数列cn满足cn=，求cn的前n项和tn答案：i）由已知有，即，w_w w. k#s5_u.c o*m sn是以s1=a1=1为首项，2为公比的等比数列 sn=由 得 b3，b7+2，3b9成等比数列， (b7+2)2=b33b9，即 (1+6d+2)2=(1+2d)3(1+8d)，解得 d=1或d=(舍)， （ii）tn=a1b1+a2b2+anbn=11+220+321+n，设t=220+321+n， 2t=221+322+n，相减得-t=2+21+22+-n，即t=(n-1)， tn=1+(n-1) (nn*) 12. 已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。（）求，的值；（）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。答案：i）取，得 取，得 由，得 （1）若，由知（2）若，由知 由、解得，；或综上可得，；或；或（ii）当时，由（i）知当时，有，所以，即，所以令，则所以数列是单调递减的等差数列（公差为），从而当时，故时，取得最大值，且的最大值为13. 设数列中， 中5的倍数的项依