人教B版必修5 应用举例 第2课时　角度问题 学案.doc

第2课时角度问题1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解角度问题.(重点)2.会将实际问题转化为解三角形问题.(难点)3.能根据题意画出几何图形.(易错点)基础初探教材整理方位角与方向角阅读教材p14问题4，完成下列问题.1.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点b的方位角为(如图1217所示).图1217方位角的取值范围：0360.2.方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90的水平角，如南偏西60，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60.1.下列说法中正确的个数为()(1)若p在q的北偏东44，则q在p的东偏北44方向；(2)如图1218所示，该角可以说成北偏东110；图1218(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是；(4)若点a在点c的北偏东30方向，点b在点c的南偏东60方向，且acbc，则点a在点b北偏西15方向.a.1b.2c.3d.4【解析】(1)错误.因若p在q的北偏东44，则q应在p的南偏西44.(2)错误.因本图所标角应为方位角，可以说成点a的方位角为110.(3)错误.因为方向角的范围为090，而方位角的范围为0360.(4)正确.【答案】a2.某次测量中，a在b的南偏东3427，b在a的()a.北偏西3427b.北偏东5533c.北偏西5533d.南偏西5533【解析】如图所示.【答案】a3.已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离都等于a km，灯塔a在观察站c的北偏东20，灯塔b在观察站c的南偏东40，则灯塔a与灯塔b的距离为()a.a kmb.a kmc.a kmd.2a km【解析】如图，可知acb120，acbca.在abc中，过点c作cdab，则ab2ad2asin 60a.【答案】b4.某人从a处出发，沿北偏东60行走3 km到b处，再沿正东方向行走2 km到c处，则a，c两地的距离为_km.【解析】如图所示，由题意可知ab3，bc2，abc150.由余弦定理得ac2274232cos 15049，ac7.所以a，c两地的距离为7 km.【答案】7小组合作型角度问题(1)如图1219，两座灯塔a和b与海岸观察站c的距离相等，灯塔a在观察站南偏西40，灯塔b在观察站南偏东60，则灯塔a在灯塔b的()图1219a.北偏东10b.北偏西10c.南偏东80d.南偏西80(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6 m，下底长为10 m，高为2m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是()a.，60b.，60c.，30d.，30【精彩点拨】(1)两座灯塔a、b与观察站c的距离相等，说明a与b有何大小关系？灯塔b在观察站南偏东60，说明cbd是多少度？(2)本小题关键是理解坡比与坡角的意义.【自主解答】(1)由条件及图可知，ab40，又bcd60，所以cbd30，所以dba10，因此灯塔a在灯塔b南偏西80.(2)如图所示，横断面是等腰梯形abcd，ab10 m，cd6 m，高de2 m，则ae2 m，tan dae，dae60.【答案】(1)d(2)b测量角度问题画示意图的基本步骤：再练一题1.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东_，大小为_km/h. 【导学号：18082009】【解析】aob60，由余弦定理知oc2202202800cos 1201 200，故oc20，coy303060.【答案】6020求航向的角度某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在a处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45，距离为10 n mile的c处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.【精彩点拨】本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形.【自主解答】如图所示，根据题意可知ac10，acb120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在b处与渔轮相遇，则ab21t，bc9t，在abc中，根据余弦定理得ab2ac2bc22acbccos 120，所以212t210281t22109t，即360t290t1000，解得t或t(舍去).所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.此时ab14，bc6.在abc中，根据正弦定理得，所以sincab，即cab21.8或cab158.2(舍去).即舰艇航行的方位角为4521.866.8.所以舰艇以66.8的方位角航行，需 h才能靠近渔轮.1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.2.在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角.因为余弦函数在(0，)上是单调递减的，而正弦函数在(0，)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角.但角在上时，用正、余弦定理皆可.再练一题2.某海上养殖基地a，接到气象部门预报，位于基地南偏东60相距20(1) n mile的海面上有一台风中心，影响半径为20 n mile，正以每小时10 n mile的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且1 h后开始影响基地持续2 h.求台风移动的方向.【解】如图所示，设预报时台风中心为b，开始影响基地时台风中心为c，基地刚好不受影响时台风中心为d，则b、c、d在一直线上，且ad20，ac20.由题意ab20(1)，dc20，bc(1)10.在adc中，dc2ad2ac2，dac90，adc45.在abc中，由余弦定理得cosbac.bac30，又b位于a南偏东60，603090180，d位于a的正北方向，又adc45，台风移动的方向为向量的方向.即北偏西45方向.答：台风向北偏西45方向移动.探究共研型求解速度问题探究1某物流投递员沿一条大路前进，从a到b，方位角是50，距离是4 km，从b到c，方位角是80，距离是8 km，从c到d，方位角是150，距离是6 km，试画出示意图.【提示】如图所示：探究2在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从a点到c，则此人的速度至少是多少？【提示】如探究1图，在abc中，abc50(18080)150，由余弦定理得ac4，则此人的最小速度为v8(km/h).探究3在探究1中若投递员以24 km/h的速度匀速沿大路从a到d前进，10分钟后某人以16 km/h的速度沿小路直接由a到c追投递员，问在c点此人能否与投递员相遇？【提示】投递员到达c点的时间为t1(小时)30(分钟)，追投递员的人所用时间由探究2可知t2(小时)15分钟；由于301510，所以此人在c点能与投递员相遇.如图1220所示，一辆汽车从o点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点o点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的m点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？图1220【精彩点拨】根据已知图形构造三角形.利用余弦定理建立速度与时间的函数求解.【自主解答】作mi垂直公路所在直线于点i，则mi3，om5，oi4，cosmoi.设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，由余弦定理得(vt)252(50t)22550t，即v22 500252900900，当t时，v取得最小值为30，其行驶距离为vt公里.故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了公里.解决实际问题应注意的问题：(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步.(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题再练一题3.如图1221，在海岸a处，发现北偏东45方向，距a处(1)n mile的b处有一艘走私船，在a处北偏西75的方向，距离a处2 n mile的c处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10 n mile/h的速度从b处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？ 【导学号：18082010】图1221【解】设缉私船用t h在d处追上走私船，则有cd10t，bd10t，在abc中，ab1，ac2，bac120，由余弦定理，得bc2ab2ac22abaccosbac(1)2222(1)2cos 1206，bc，且sinabcsinbac .abc45.bc与正北方向垂直.cbd9030120，在bcd中，由正弦定理，得sinbcd，bcd30.即缉私船沿东偏北60方向能最快追上走私船.1.已知两座灯塔a，b与海洋观察站c的距离相等，灯塔a在观察站c的北偏东40，灯塔b在观察站c的南偏东60，则灯塔a在灯塔b的()a.北偏东10b.北偏西10c.南偏东10d.南偏西10【解析】如图，因abc为等腰三角形，所以cba(18080)50，605010，故答案为b.【答案】b2.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点a测得水柱顶端的仰角为45，沿点a向北偏东30前进100 m到达点b，在b点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()a.50 mb.100 mc.120 md.150 m【解析】设水柱高度是h m，水柱底端为c(图略)，则在abc中，a60，ach，ab100，bch，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.【答案】a3.已知两灯塔a和b与海洋观测站c的距离都等于a km，灯塔a在观测站c的北偏东20，灯塔b在观测站c的南偏东40，则灯塔a与灯塔b的距离为_km. 【导学号：18082011】【解析】acb120，acbca，由余弦定理，得ab2a2a22aacos 1203a2，aba.【答案】a4.一轮船从a点沿北偏东70的方向行驶10海里至海岛b，又从b沿北偏东10的方向行驶10海里至海岛c，若此轮船从a点直接沿直线行驶至海岛c，则此船沿_方向行驶_海里至海岛c.【解析】在abc中，abc11010120.又abbc，故cabacb30，ac10.故此船沿着北偏东703040方向行驶了10海里到达海岛c.【答案】北偏东40105