人教B版必修二 证明共线、共面问题 课时作业 (1).doc

证明共线、共面问题一、共面问题1. 下列说法正确的是()任意3点确定一个平面；圆上的3点确定一个平面；任意4点确定一个平面；两条平行线确定一个平面abcd2以下四个命题中，不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点a，b，c，d共面，点a，b，c，e共面，则点a，b，c，d，e共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是()a0b1c2 d33. 如图是正方体或四面体，p，q，r，s分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()4. 如图1211，在正方体abcda1b1c1d1中，设a1c平面abc1d1e.能否判断点e在平面a1bcd1内？图12115. 证明两两相交且不共点的3条直线在同一平面内6. 已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内7. 已知直线ab，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面8. 求证：如果两两平行的3条直线都与另一条直线相交，那么这4条直线共面二、共线问题1. 如图1212，在正方体abcda1b1c1d1中，设a1c平面abc1d1e.能否证明b，e，d1三点共线图1212 学 2. 如图1213，在正方体abcda1b1c1d1中，点m，n，e，f分别是棱cd，ab，dd1，aa1上的点，若mn与ef交于点q，求证：d，a，q三点共线. 图12133. 已知abc在平面外，其三边所在的直线满足abp，bcq，acr，如右图所示求证：p，q，r 3点共线4. 已知正方体abcd a1b1c1d1中，e，f分别为d1c1，c1b1的中点，acbdp，a1c1efq.求证：(1)d，b，f，e 4点共面；(2)若a1c交平面dbfe于r点，则p， q，r 3点共线5. 如图1214，在四边形abcd中，已知abcd，直线ab，bc，ad，dc分别与平面相交于点e，g，h，f.求证：e，f，g，h四点必定共线. , ,k 图1214三、共点问题1. 如图1215，已知平面，且l.在梯形abcd中，adbc，且ab，cd.求证：ab，cd，l共点(相交于一点)图12152. 如下图所示，在四面体abcd中，e，g分别为bc，ab的中点，f在cd上，h在ad上，且有dffcdhha23.求证：ef，gh，bd交于一点3. 如右图所示，在空间四边形各边ad，ab，bc，cd上分别取e，f，g，h四点，如果ef，gh交于一点p，求证：点p在直线bd上参考答案证明共线、共面问题一、共面问题1. 答案：c2解析：选b假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确从条件看出两平面有三个公共点a，b，c，但是若a，b，c共线，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形 学 3. 解析：选da，b，c图中四点一定共面，d中四点不共面4. 【提示】如图，连接bd1，a1c平面abc1d1e，ea1c，e平面abc1d1.a1c平面a1bcd1，e平面a1bcd1.5. 解已知：如图所示，l1l2a，l2l3b，l1l3c. 求证：直线l1，l2，l3在同一平面内法一：(纳入平面法)l1l2a，l1和l2确定一个平面. l2l3b，bl2. 又l2，b.同理可证c.又bl3，cl3，l3. 直线l1，l2，l3在同一平面内法二：(辅助平面法)l1l2a，l1，l2确定一个平面. l2l3b，l2，l3确定一个平面.al2，l2，a. al2，l2，a.同理可证b，b，c，c.不共线的三个点a，b，c既在平面内，又在平面内平面和重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内6. 【精彩点拨】四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况解析：已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面证明：(1)若a，b，c三线共点于o，如图所示，od，经过d与点o有且只有一个平面.a、b、c分别是d与a、b、c的交点，a、b、c三点在平面内由公理1知a、b、c都在平面内，故a、b、c、d共面(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，aba，经过a、b有且仅有一个平面，b、c.由公理1知c. 同理，d，从而有a、b、c、d共面综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内7. 【证明】如图所示，由已知ab，所以过a，b有且只有一个平面.设ala，blb，a，b，且al，bl，l.即过a，b，l有且只有一个平面8. 解：已知：abc，laa，lbb，lcc.求证：直线a，b，c和l共面证明：如图所示，因为ab，由公理2可知直线a与b确定一个平面，设为.因为laa，lbb，所以aa，bb，则a，b.又因为al，bl，所以由公理1可知l.因为bc，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面，同理可知l.因为平面和平面都包含着直线b与l，且lbb，而由公理2的推论2知，经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面与平面重合，所以直线a，b，c和l共面二、共线问题1. 由于平面a1bcd1与平面abc1d1交于直线bd1，又ebd1，根据公理3可知b，e，d1三点共线2. 【精彩点拨】欲证d、a、q三点共线，只需说明三点均在平面ad1和平面ac的交线da上即可解析：mnefq，q直线mn，q直线ef， 学 又m直线cd，n直线ab，cd平面abcd，ab平面abcd.m、n平面abcd，mn平面abcd.q平面abcd.同理，可得ef平面add1a1. q平面add1a1，又平面abcd平面add1a1ad，q直线ad，即d，a，q三点共线3. 证明法一：abp，pab，p平面.又ab平面abc，p平面abc.由公理3可知，点p在平面abc与平面的交线上，同理可证q，r也在平面abc与平面的交线上p，q，r 3点共线法二：apara，直线ap与直线ar确定平面apr.又abp，acr，平面apr平面pr.b平面apr，c平面apr，bc平面apr.qbc，q平面apr，又q，qpr，p，q，r三点共线4. 证明：如图 (1)连接b1d1，ef是d1b1c1的中位线，efb1d1.在正方体ac1中，b1d1bd，efbd.ef，bd确定一个平面，即d，b，f，e四点共面(2)正方体ac1中，设平面a1acc1确定的平面为，又设平面bdef为.qa1c1，q.又qef，q.则q是与的公共点，同理p是与的公共点，pq.又a1cr，ra1c. r，且r，则rpq.故p，q，r 3点共线5. 【证明】abcd，ab，cd确定一个平面，又abe，ab，e，e，即e为平面与的一个公共点同理可证f，g，h均为平面与的公共点，两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，e，f，g，h四点必定共线三、共点问题1. 【证明】梯形abcd，adbc，ab，cd是梯形abcd的两腰，a