人教B版必修一 指数与指数函数 教案.doc

寒假课程-第7讲 指数与指数函数教案适用学科高中数学适用年级高中一年级适用区域通用课时时长（分钟）120知识点根式与指数幂指数幂的运算法则指数函数的概念指数函数的图象与性质与指数函数有关的复合函数问题的处理方法教学目标1 理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；2 在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；3 在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法教学重点指数函数的概念、图象和性质教学难点对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质.教学过程一、课堂导入我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值二、复习预习探索新知：什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？若，则叫做的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为，负数没有平方根。若，则叫做的立方根，一个数的立方根只有一个。如：的立方根为。思考：类推，根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？三、知识讲解考点1 根式1根式的概念根式的概念符号表示备注如果xna，那么x叫做a的n次方根n1且nn*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数(a0)负数没有偶次方根2两个重要公式(1)(2)()na(注意a必须使有意义)考点2 有理数指数幂1幂的有关概念(1)正分数指数幂：a(a0，m，nn*，且n1)；(2)负分数指数幂：a(a0，m，nn*，且n1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义2有理数指数幂的性质(1)arasars(a0，r，sq)；(2)(ar)sars(a0，r，sq)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rq)考点3 指数函数的图象和性质函数yax(a0，且a1)图象0a1图象特征在x轴上方，过定点(0,1)性质定义域r值域(0，)单调性减函数增函数函数值变化规律当x0时，y1当x1；当x0时，0y1当x0时，0y0，且a1)的图象可能是() 【解析】法一：令yaxa0，得x1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项c.法二：当a1时，yaxa是由yax向下平移a个单位，且过(1,0)，排除选项a、b；当0a1时，yaxa是由yax向下平移a个单位，因为0a1，故排除选项d.【总结与反思】1与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象2一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解例3 已知函数f(x)|x|a.则函数f(x)的单调递增区间为_，单调递减区间为_【解析】(，00，)；令t|x|a，则f(x)t，不论a取何值，t在(，0上单调递减，在0，)上单调递增，又yt是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(，0，单调递减区间是0，)【反思与总结】求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决例4函数yxx1在x3,2上 的值域是_【解析】常规解法：yxx12x12，因为x3,2，所以x8.当x时，ymin；当x8时，ymax57.所以函数y的值域为. 妙解：因为x3,2，若令tx，则t.则yt2t12.当t时ymin；当t8时，ymax57.答案为.【反思与总结】1解答本题可利用换元法，即令tx，把函数化为yt2t1，其中t，然后求在这个闭区间上的二次函数的最大值和最小值即可确定函数的值域2对于含ax、a2x的表达式，通常可以令tax进行换元，但换元过程中一定要注意新元的范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次关系 例5（1）计算：；（2）化简：。【解析】解：（1）原式=；（2）原式=。【反思与总结】根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。例6 已知，求的值。【解析】解：，又，。【反思与总结】本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。例7比较下列各题中的两个值的大小：(1)1.72.5与1.73；(2)0.80.1与0.80.2；(3)1.70.3与0.93.1.【解析】图1解法一：用数形结合的方法，如第(1)小题，用图形计算器或计算机画出y1.7x的图象，如图1.在图象上找出横坐标分别为2.5,3的点，显然，图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.51.73，同理0.80.10.80.2,1.70.30.93.1.解法二：用计算器直接计算：1.72.53.77,1.734.91，所以1.72.51.73.同理0.80.10.80.2,1.70.30.93.1.解法三：利用函数单调性，(1)1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y1.7x，当x2.5和3时的函数值；因为1.71，所以函数y1.7x在r上是增函数，而2.53，所以1.72.51.73；(2)0.80.1与0.80.2的底数是0.8，它们可以看成函数y0.8x，当x0.1和0.2时的函数值；因为00.81，所以函数y0.8x在r上是减函数，而0.10.2，所以0.80.10.80.2；(3)因为1.70.31.701,0.93.10.901，所以1.70.30.93.1.【反思与总结】在第(3)小题中，可以用解法一、解法二解决，但解法三不适合由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值例8 求值【解析】原式= 【总结与思考】指数幂的计算问题的考察例9 比较下列各组数的大小。（1），（2），（3），【解析】（1）（3）【总结与思考】由指数函数的基本性质及中间变量可以求得例10将下列指数式化为对数式：（1）； （2）； （3）； 【解析】（1）；（2）；（3）；【总结与反思】对于对数与指数互化的问题，一定要熟悉对数的概念，即如果，那么数叫做以为底n的对数，记作，其中称对数的底，叫做真数。课程小结指数函数：定义：函数称指数函数，1）函数的定义域为r；2）函数的值域为；3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以轴为渐近线（当时，