人教B版必修5 解三角形 章末分层突破 学案.doc

章末分层突破 自我校对已知两角和其中一边c2a2b22abcos c已知三边sacsin b 利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程.三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积.解斜三角形共包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数).abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，asin acsin casin cbsin b.(1)求角b的大小；(2)若a75，b2，求a，c.【精彩点拨】(1)用正弦定理将已知关系式变形为边之间的关系，然后利用余弦定理求解.(2)先求角c，然后利用正弦定理求边a，c.【规范解答】(1)由正弦定理得a2c2acb2.由余弦定理得b2a2c22accos b.故cos b，因此b45.(2)sin asin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45.故ab1.由已知得，c180457560，cb2.再练一题1.在abc中，角a，b，c所对的边长分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2c2bca2和，求a和tan b的值. 【导学号：18082014】【解】由余弦定理cos a，因此a60.在abc中，c180ab120b.由已知条件，应用正弦定理，从而tan b.正、余弦定理的综合应用正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解.在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b.c,4sin2cos 2c，ab5，c.(1)求角c的大小；(2)求abc的面积.【精彩点拨】(1)先降幂，转化成cos c的方程，求出cos c，进而求出角c；(2)由余弦定理列方程，得方程组，求出a，b，再求面积.【规范解答】(1)由4sin2cos 2c，得4cos2cos 2c，所以4(2cos2c1).整理，得4cos2c4cos c10，解得cos c，所以c60.(2)由余弦定理，得c2a2b22abcos c，即7a2b2ab.又因为ab5，所以a2b22ab25.联立，解得ab6.所以sabcabsin c6.再练一题2.abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知2cos c(acos bbcos a)c.(1)求c；(2)若c，abc的面积为，求abc的周长.【解】(1)由已知及正弦定理得2cos c(sin acos bsin bcos a)sin c，即2cos csin(ab)sin c，故2sin ccos csin c.可得cos c，所以c.(2)由已知得absin c.又c，所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcos c7，故a2b213，从而(ab)225.所以abc的周长为5.正、余弦定理的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求.在某海滨城市附近海面有台风，据监测，当前台风中心位于城市o(如图11)的东偏南方向300 km的海面p处，并以20 km/h的速度向西偏北45方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭.图11【精彩点拨】设台风中心在t小时后由p到q，所以在opq中，op300，opq45，pq20t，可由余弦定理求出oq.城市o受到台风的侵袭，需满足条件oq10t60，然后通过解不等式求出城市o受到台风侵袭的时间.【规范解答】设在时刻t(h)台风中心为q，此时台风侵袭的圆形区域半径为(10t60)km，若在时刻t城市o受到台风的侵袭，则oq10t60.由余弦定理，知oq2pq2po22pqpocosopq.因为po300 km，pq20t km，cosopqcos(45)cos cos 45sin sin 45，所以oq2(20t)23002220t300202t29 600t3002.又因为oq10t60，所以202t29 600t3002(10t60)2，即t236t2880，解得12t24.所以12个小时后该城市开始受到台风的侵袭.再练一题3.如图12，某住宅小区的平面图呈扇形aoc.小区的两个出入口设置在点a及点c处，小区里有两条笔直的小路ad，dc，且拐弯处的转角为120.已知某人从c沿cd走到d用了10分钟，从d沿da走到a用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径oa的长(精确到1米).图12【解】法一：设该扇形的半径为r米，由题意，得cd500米，da300米，cdo60.在cdo中，cd2od22cdodcos 60oc2，即5002(r300)22500(r300)r2，解得r445(米).法二：连接ac，作ohac，交ac于点h，由题意，得cd500米，ad300米，cda120.在acd中，ac2cd2ad22cdadcos 1205002300225003007002，ac700(米).coscad.在rthao中，ah350(米)，coshao，oa445(米).三角形形状的判断一般来说，判断三角形的形状问题常用的方法有两种：(1)通过边之间的关系判断形状；(2)通过角之间的关系判断形状.正弦定理、余弦定理在解题中起到将已知条件中的边、角互化，把条件化为边之间的关系或化为角之间的关系的作用.在abc中，已知b60，2bac，试判断abc的形状.【精彩点拨】通过正弦定理，把2bac化边为角判断或通过余弦定理，利用cos b化角为边判断.【规范解答】法一：由正弦定理，得2sin bsin asin c.因为b60，所以ac120，所以a120c.代入上式，得2sin 60sin(120c)sin c.整理，得sin ccos c1，即sin(c30)1.所以c3090，c60.所以a60.所以abc为等边三角形.法二：由余弦定理，得b2a2c22accos b.代入b(ac)，得(ac)2a2c22ac.化简，得a2c22ac0，即(ac)20，所以ac，abc为等腰三角形.又因为b60，所以abc为等边三角形.再练一题4.在abc中，若sin acos a，则这个三角形是()a.钝角三角形b.直角三角形c.锐角三角形d.等边三角形【解析】法一：若a90，则sin acos asin(a45)1，a90，故选a.法二：sin acos a，(sin acos a)2，12sin acos a，sin acos a0.0a180，sin a0，cos a0,90a180，故选a.【答案】a转化与化归思想转化与化归思想用于研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法的情况下，把一种状况转化为另一种状况，也就是转化为另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式.本章主要是综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题，在判断三角形的形状的问题中，利用边、角之间的转化与化归的方法是解决这类问题的基本思路.在abc中，已知(abc)(abc)3ab，且2cos asin bsin c，试确定abc的形状.【精彩点拨】充分运用正弦定理和余弦定理，可利用边的关系判断，也可转化为角的关系来判断.【规范解答】法一：由正弦定理，得.又2cos asin bsin c，所以cos a.由余弦定理，有cos a.所以，即c2b2c2a2.所以ab.又因为(abc)(abc)3ab，所以(ab)2c23ab，所以4b2c23b2.所以bc，所以abc.因此abc为等边三角形.法二：因为abc180，所以sin csin(ab).又因为2cos asin bsin c，所以2cos asin bsin acos bcos asin b，所以sin(ab)0.因为a、b均为三角形的内角，所以ab.又由(abc)(abc)3ab.得(ab)2c23ab，即a2b2c2ab.所以cos c.因为0c180，所以c60.因此abc为等边三角形.再练一题5.已知abc中，c2，且acos bbcos a，试判断abc的形状.【解】由c2，得a3b3c3c2(ab)c3，a2b2abc2，cos c，c60.由acos bbcos a，得2rsin acos b2rsin bcos a(r为abc外接圆的半径)，sin(ab)0，ab0，abc60，abc为等边三角形.1.abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知a，c2，cos a，则b()a.b.c.2d.3【解析】由余弦定理得5b242b2，解得b3或b(舍去)，故选d.【答案】d2.abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c.已知bc，a22b2(1sin a)，则a()a. b. c. d.【解析】bc，bc.又由abc得b.由正弦定理及a22b2(1sin a)得sin2a2sin2b(1sin a)，即sin2a2sin2(1sin a)，即sin2a2cos2(1sin a)，即4sin2cos22cos2(1sin a)，整理得cos20，即cos2(cos asin a)0.0a，0，cos 0，cos asin a.又0a，a.【答案】c3.在abc中，a，ac，则_.【解析】在abc中，a，a2b2c22bccos，即a2b2c2bc.ac，3c2b2c2bc，b2bc2c20，(b2c)(bc)0，bc0，bc，1.【答案】14.在abc中，内角a，b，c所对应的边分别为a，b，c.已知asin 2bbsin a.(1)求b；(2)若cos a，求sin c的值.【解】(1)在abc中，由，可得asin bbsin a.又由asin 2bbsin a，得2asin bcos bbsin aasin b，所以cos b，所以b.(2)由cos a，可得sin a，则sin csin(ab)sin(ab)sinsin acos a.5.在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos b.(1)证明：a2b；(2)