2011届数学高考复习名师精品教案第97-99课时第十三章.doc

sis001 第97-99课时：第十三章 导数导数的应用(2)课题：课题：导数的应用2：函数问题（3课时）导数与微分是在极限的基础上发展起来的研究变量的一个数学分支，是解决实际问题的重要的数学工具。如求曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的最值以及不等式的证明等问题，均可以导数作为研究的工具，根据导数的意义进行求解和证明。关于导数的应用，我们将分两个讲座研究，分别是函数问题和切线与速度的问题。一、利用导数研究函数的单调性若函数在某个区间内可导，则当时，在此区间上为单调增函数；而当时，在此区间上为单调减函数。利用上述性质，可以研究函数的单调性。注意点：（1）同一函数的两个单调区间不能并起来（2）求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法，但它是一种一般性的方法。二、利用导数求函数的最值求闭区间上的可导函数的最大（小）值的方法是：首先求出此函数在开区间内的驻点，然后计算函数在驻点与端点处的值，并将它们进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值，这里无须对各驻点讨论其是否为极大（小）值点。如果函数不在闭区间上可导，那么求函数的最大（小）值时，不仅要比较此函数在各驻点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值。一般地，求在闭区间上连续，在开区间内可导的函数在闭区间上最值的步骤为：求在区间内的根，即导数为0的点（不必确定它是极大值点还是极小值点），求出这些导数为0的点的函数值；求在闭区间两端点处的函数值，即与；将导数为0的函数值与两端点处的函数值进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值。一、范例分析例1设函数内为奇函数且可导，证明：内的偶函数.证明：对任意 由于为奇函数，于是，因此即内的偶函数。例2已知函数处取得极值，并且它的图象与直线在点（1，0）处相切，求a、b、c的值.解：由曲线过（1，0）得 又+b 则 解得.例3已知有极大值和极小值. （1）求+的值； （2）设曲线的极值点为A、B，求证：线段AB的中点在上.解：（1），由于有极大值和极小值，、的两根，则 （2）设,由知AB的中点在上。例4设函数的驻点是0和4. （1）求常数k的值； （2）确定函数的单调区间； （3）求的极值。解：（1），由于驻点是0和4，0和4是方程的两根，可求得(2)由（1）可知，当为增函数，为减函数；（3）由（2）可判断极大值为极小值为例5求证：。证明：（1）当时，=1，=1，命题成立； （2）当0时，令，则0 在（0，）上为增函数 0， 即0 ； （3）当0时，令，则0 在（）上为减函数 即0 综合以上情况，。例6已知函数问是否存在实数a、b使f(x)在1，2上取得最大值3，最小值29，若存在，求出a、b的值.并指出函数的单调区间 . 若不存在，请说明理由 .解：（舍） （1）a0时，如下表x(1,0)0（0，2）+0最大值3 当x=0时，取得最大值， b=3； （2）a0时，如下表x(1,0)0（0，2）0+最小值29当x=0时，取得最小值， b=29（9分） 又f(2)=16a29, f(1)=7a290）。试问当x取何值时，容量V有最大值。 解：= 函数V（）=的定义域为 令=0 得 (1)当，即时，时，0V（）为增函数；时，0V（）为减函数； V（）在上有极大值V（），为唯一驻点，当时， 有最大值。(2)当，即时，时，0恒成立；V（）为增函数；当时， 有最大值。例10某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K0)，贷款的利率为4.8，又银行吸收的存款能全部放贷出去.(1)若存款的利率为x,x(0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益?解：（1）由题意，存款量g(x)=Kx2,银行应支付的利息h(x)=xg(x)= Kx3（2）设银行可获收益为y,则y=0.048Kx2Kx3y /=K0.096x3 Kx2 令y /=0 即K0.096x3 Kx2=0解得x=0 或x=0.032 又当x(0,0.032)时，y /0, x(0.032,0.048)时, y /b0)的长轴为AB，以AB为底边作椭圆的内接等腰梯形ABCD，求此等腰梯形面积的最大值。答案：。23用总长44.8m的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长1m，那么底面的底边，腰及容器的高为多少时容器的容积最大？（参考数据2.662=7.0756，3.342=11.1556）解：设容器底面等腰三角形的底边长为2xm，则腰长为（1分）高为 （2分）设容器的容积为Vm3，底面等腰三角形底边上的高令当有最大值. 这时容器的底面等腰三角形的底边长为6m，腰长为4m，容器的高为5.6m。高考资源网(www.