人教B版必修二 2.2.2直线方程的几种形式 课件（41张）.ppt

2 2 2直线方程的几种形式 一 二 一 直线方程的几种形式 问题思考 1 直线在坐标轴上的截距是距离吗 提示 截距 并非指 距离 它是直线与坐标轴交点的横 纵坐标 可以取一切实数 而距离必须大于或等于零 2 填写下表 一 二 一 二 4 两点式表示直线方程的条件是什么 两点式怎样变形就能适用于所有过两点的直线了 一 二 3 当直线在两坐标轴上的截距相等时 直线l的斜率k 1 故常设直线方程为x y a 一 二 5 做一做 在x轴上的截距为2且倾斜角为135 的直线方程为 a y x 2b y x 2c y x 2d y x 2答案 a6 做一做 过点p 3 2 和点q 4 7 的直线方程为 答案 5x y 13 0 一 二 二 几种特殊直线的方程 问题思考 1 在方程ax by c 0 a2 b2 0 中 当a 0或b 0时方程分别表示怎样的直线 一 二 2 填空 选用点斜式 斜截式 两点式求直线方程时 要考虑特殊情况下的直线方程 坐标轴所在直线或垂直于坐标轴的直线或经过原点的直线 过点 a b 且平行于x轴的直线方程为y b 过点 a b 且平行于y轴的直线方程为x a 平行于y轴的直线的斜率不存在 过原点的直线方程为y kx或x 0 x轴的方程是y 0 y轴的方程是x 0 y轴的斜率不存在 一 二 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 过点p的直线都可用点斜式写出 2 过点p x0 y0 且与x轴垂直的直线方程是y y0 4 直线的点斜式 斜截式方程适用于不垂直于x轴的任何直线 5 直线的一般式方程可表示任意一条直线 6 直线的截距式可表示除过原点外的所有直线 7 直线的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程 8 任何一条直线的一般式方程均能与其他四种形式 点斜式 两点式 斜截式 截距式 相互互化 一 二 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 直线方程的点斜式 例1 求满足下列条件的直线的方程 1 过点p 4 3 斜率k 2 2 过点p 2 5 且与x轴平行 3 过点p 3 1 且与y轴平行 思路分析 利用直线方程的点斜式及特殊位置的直线表示形式解答 解 1 直线过点p 4 3 斜率k 2 由点斜式得y 3 2 x 4 整理得所求方程为2x y 5 0 2 直线过点p 2 5 且与x轴平行 则斜率k 0 故所求直线方程为y 5 0 x 2 即y 5 3 直线与y轴平行 说明斜率不存在 又因为直线过点p 3 1 所以直线的方程为x 3 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 反思感悟利用点斜式求直线方程的步骤如下 1 确定直线要经过的定点 x0 y0 2 明确直线的斜率k 3 由点斜式直接写出直线方程 注意 点斜式使用的前提条件是斜率存在 当斜率不存在时 直线没有点斜式方程 其方程为x x0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 变式训练1求斜率是直线x y 1 0的斜率的3倍 且分别满足下列条件的直线方程 1 经过点p 3 4 2 在x轴上的截距是 5 解 由x y 1 0 得y x 1 直线x y 1 0的斜率为1 由题意可得 所求直线的斜率k 3 1 所求直线的方程是y 4 3 x 3 即3x y 5 0 2 由题意知直线经过点 5 0 所求直线的方程是y 0 3 x 5 即3x y 15 0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 直线方程的斜截式 例2 已知直线l的斜率为2 在y轴上的截距为m 1 求直线l的方程 2 当m为何值时 直线通过 1 1 点 思路分析 1 直接套用直线的斜截式方程 2 将点 1 1 代入所设方程求m 解 1 利用直线的斜截式方程 可得方程为y 2x m 2 只需将点 1 1 代入直线y 2x m 有1 2 1 m 所以m 1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 反思感悟对斜截式直线方程的理解要注意以下几点 1 由直线斜截式方程的推导过程可以看出 在点斜式中若点p x0 y0 为直线l与y轴的交点 得到的直线方程即为斜截式 因此斜截式为点斜式的特殊情况 2 直线与x轴垂直时 斜率不存在 不能用直线方程的斜截式表示 因此 斜截式方程不能表示与x轴垂直的直线 3 斜截式方程y kx b的特点 左端y的系数恒为1 右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义 k是直线的斜率 b是直线在y轴上的截距 截距实质上为直线与y轴交点的纵坐标 直线与y轴的交点与原点的距离为 b 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 1 将本例的条件 在y轴上的截距为m 改为 在x轴上的截距为m 如何求直线的方程 2 将本例的条件不变 试问m为何值时 直线与坐标轴所围成的三角形的面积为1 1 解 直线在x轴上的截距为m 即直线过点 m 0 又已知直线的斜率为2 则由直线的点斜式方程 可得所求直线方程为y 0 2 x m 即y 2x 2m 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 直线方程的两点式 例3 1 求过两点 2 5 和 2 3 的直线的两点式方程 2 求过两点a 0 0 b 1 1 的直线方程 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 反思感悟在使用直线方程的两点式时要注意以下两点 1 当直线斜率不存在 x1 x2 或斜率为0 y1 y2 时 不能用两点式求出它的方程 若x1 x2 y1 y2 则直线方程为x x1 0 若y1 y2 x1 x2 则直线方程为y y1 0 2 直线方程的两点式不能表示与坐标轴垂直的两类直线 若变形为 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 此时可表示过任意两点的直线的方程 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 变式训练2已知直线2x1 3y1 4 2x2 3y2 4 则过点a x1 y1 b x2 y2 的直线l的方程是 a 2x 3y 4b 2x 3y 0c 3x 2y 4d 3x 2y 0答案 a 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 直线方程的截距式 例4 已知点a 3 0 b 0 4 动点p x y 在线段ab上运动 求xy的最大值 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 反思感悟对直线的截距式方程应注意以下几点 1 在方程中 要求a 0 b 0 即两个截距都不为0 因此它不能表示过坐标原点或平行于x轴 y轴的直线 2 当题目条件中涉及截距相等或互为相反数时 若选用截距式来求解 注意截距都为0 即直线过原点这种情况 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 变式训练3在x y轴上的截距分别是 3 4的直线方程是 a 4x 3y 12 0b 4x 3y 12 0c 4x 3y 1 0d 4x 3y 1 0解析 根据直线方程的截距式写出直线方程 1 化简得4x 3y 12 0 故选b 答案 b 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 直线方程的一般式 例5 1 若直线ax by c 0经过第一 第二和第四象限 则 a ab 0 且bc 0b ab 0 且bc0d ab 0 且bc 0 2 设直线l的方程为2x k 3 y 2k 6 0 k 3 根据下列条件分别确定k的值 直线l的斜率为 1 直线l在x轴 y轴上的截距之和等于0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 答案 b 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 反思感悟1 直线的一般式方程与其他四种形式的转化 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 2 当直线方程ax by c 0的系数a b c满足下列条件时 直线ax by c 0有如下性质 1 当a 0 b 0时 直线与两条坐标轴都相交 2 当a 0 b 0 c 0时 直线只与x轴相交 即直线与y轴平行 与x轴垂直 3 当a 0 b 0 c 0时 直线只与y轴相交 即直线与x轴平行 与y轴垂直 4 当a 0 b 0 c 0时 直线与x轴重合 5 当a 0 b 0 c 0时 直线与y轴重合 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 变式训练4设直线l的方程为 a 1 x y 2 a 0 a r 1 若l在两坐标轴上的截距相等 求l的方程 2 若l不经过第二象限 求实数a的取值范围 解 1 当直线过原点时 该直线在x轴和y轴上的截距为零 当然相等 所以a 2 直线l的方程即3x y 0 当a 2时 截距存在且均不为0 所以a 0 直线l的方程为x y 2 0 2 将l的方程化为y a 1 x a 2 综上所述 a的取值范围是a 1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 一 直线方程的求解 典例1 求经过点p 2 3 并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程 解 方法1 1 当截距为0时 直线l过点 0 0 2 3 所以直线l的方程为x y 5 0 综上可知 直线l的方程为3x 2y 0或x y 5 0 方法2 由题意知 直线l的斜率存在 且不为0 设直线方程为y 3 k x 2 且k 0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 即3x 2y 0或x y 5 0 名师点评直线方程的几种形式在特定情况下可以互相转化 在解决求直线方程问题时 可以灵活选用其中形式 如已知定点和斜率一般用点斜式 已知截距 均不为0 可考虑用截距式 但在同样的条件下 也可以从多种角度入手 使得问题的解决更加多样化 上例中方法1要注意不要遗漏特殊情况的讨论 方法2设解形式统一 但计算量稍大些 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 变式训练1已知直线l经过点a 4 3 并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等 求直线l的方程 解 当直线l在两坐标轴上的截距为0时 符合题意 即3x 4y 0 当直线l在两坐标轴上的截距不为0时 所以a b 1或a 7 b 7 综上可知 所求直线l的方程是3x 4y 0或x y 1 0或x y 7 0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 二 关于直线恒过定点问题 典例2 求证无论k取任何实数时 直线 k 1 x k 1 y 2k 0必过定点 并求出此定点 思路点拨 证法1 将已知直线方程整理成 a1x b1y c1 k a2x b2y c2 0的形式 证法2 将已知直线方程整理成点斜式 由点斜式确定定点 证法3 取两个特殊值后再求解 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 证法1直线方程可整理为 x y k x y 2 0 则直线 k 1 x k 1 y 2k 0过直线l1 x y 0与l2 x y 2 0的交点 所以直线恒过定点 1 1 证法2当k 1时原直线方程可变形为y 1 x 1 此为直线方程的点斜式 该直线一定过点 1 1 当k 1时 原直线方程为x 1 一定过点 1 1 所以该直线必过定点 定点的坐标为 1 1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 证法3由k的任意性 取k 0 得x y 0 取k 1 得x 1 0 由 得直线x y 0与直线x 1 0的交点坐标为 1 1 将点 1 1 代入直线方程 k 1 1 k 1 1 2k 0成立 所以直线 k 1 x k 1 y 2k 0必过定点 定点为 1 1 名师点评直线过定点问题是直线方程中常见的问题 解决方法主要是根据参数的任意性列方程组求解 常见方法有 特殊值法 点斜式法 整理成f1 x y f2 x y 0的形式 解方程组求解 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 一题多解 变式训练2直线kx y 5k 7 0恒过定点 答案 5 7 1 2 3 4 5 6 1 若直线的方程是y 2 x 1 则 a 直线经过点 2 1 斜率为 1b 直线经过点 1 2 斜率为 1c 直线经过点 2 1 斜率为1d 直线经过点 1 2 斜率为 1解析 直线方程可化为y 2 x 1 因此 直线经过点 1 2 斜率为 1 答案 d 1 2 3 4 5 6 2 集合a x x为直线的斜截式方程 b x x为一次函数的解析式 则集合a b间的关系为 a a bb b ac b ad a b答案 b 1 2 3 4 5 6 3 已知两直线的方程分别为l1 x ay b 0 l2 x cy d 0 它们在坐标系中的位置如图所示 则 a b 0 d0 dcc b0 a cd b0 a c 答