人教A版必修2 第三章 3.2.1直线的点斜式方程 学案.docx

3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程学习目标1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.知识点一直线的点斜式方程思考1如图，直线l经过点p0(x0，y0)，且斜率为k，设点p(x，y)是直线l上不同于点p0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？答案由斜率公式得k，则x，y应满足yy0k(xx0).思考2经过点p0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？答案斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点p0斜率不存在的直线为xx0.梳理点斜式已知条件点p(x0，y0)和斜率k图示方程形式yy0k(xx0)适用条件斜率存在知识点二直线的斜截式方程思考1已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？答案将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得ykxb.思考2方程ykxb表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？答案y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零.梳理斜截式已知条件斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程式ykxb适用条件斜率存在对于直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2.l1l2k1k2且b1b2，l1l2k1k21.1.对直线的点斜式方程yy0k(xx0)也可写成k.()2.直线y3k(x1)恒过定点(1,3).()3.直线ykxb在y轴上的截距为b.()类型一直线的点斜式方程例1(1)直线y2x1绕着其上一点p(1,3)逆时针旋转90后得到直线l，则直线l的点斜式方程是_.考点直线的点斜式方程题点求直线的点斜式方程答案y3(x1)解析由题意知，直线l与直线y2x1垂直，则直线l的斜率为.由点斜式方程可得l的方程为y3(x1).(2)一直线l1过点a(1，2)，其倾斜角等于直线l2：yx的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为_.考点直线的点斜式方程题点求直线的点斜式方程答案y2(x1)解析直线l2的方程为yx，设其倾斜角为，则tan ，30.那么直线l1的倾斜角为23060，l1的点斜式方程为y2tan 60(x1)，即y2(x1).反思与感悟(1)求直线的点斜式方程(2)点斜式方程yy0k(xx0)可表示过点p(x0，y0)的所有直线，但直线xx0除外.跟踪训练1写出下列直线的点斜式方程.(1)经过点a(2,5)，且与直线y2x7平行；(2)经过点c(1，1)，且与x轴平行；(3)经过点d(1,2)，且与x轴垂直；(4)经过点p(2,3)，q(5，4)两点.考点直线的点斜式方程题点求直线的点斜式方程解(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y52(x2).(2)由题意知，直线的斜率ktan 00，所以直线的点斜式方程为y(1)0.(3)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x1，该直线没有点斜式方程.(4)kpq1，所以该直线的点斜式方程为y3(x2).类型二直线的斜截式方程例2(1)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_.考点直线的斜截式方程题点写出直线的斜截式方程答案yx3或yx3解析直线的倾斜角是60，其斜率ktan 60，直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，直线在y轴上的截距是3或3，所求直线的斜截式方程是yx3或yx3.(2)已知直线l1的方程为y2x3，l2的方程为y4x2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.考点直线的斜截式方程题点写出直线的斜截式方程解由斜截式方程知，直线l1的斜率k12，又因为ll1，所以kl2.由题意知，l2在y轴上的截距为2，所以直线l在y轴上的截距b2.由斜截式可得直线l的方程为y2x2.引申探究本例(2)中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求l的方程.解l1l，直线l1：y2x3，l的斜率为.l与l2在y轴上的截距互为相反数，直线l2：y4x2，l在y轴上的截距为2.直线l的方程为yx2.反思与感悟(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b0时，ykx表示过原点的直线；当k0时，yb表示与x轴平行(或重合)的直线.(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数.跟踪训练2已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程.考点直线的斜截式方程题点写出直线的斜截式方程解设直线方程为yxb，则当x0时，yb；当y0时，x6b.由已知可得|b|6b|3，即6|b|26，b1.故所求直线l的斜截式方程为yx1或yx1.类型三平行与垂直的应用例3(1)当a为何值时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直？考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用解(1)由题意可知， 1，a22，l1l2，解得a1.故当a1时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行.(2)由题意可知，2a1，4，l1l2，4(2a1)1，解得a.故当a时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直.反思与感悟设直线l1和l2的斜率k1，k2都存在，其方程分别为l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，那么：(1)l1l2k1k2，且b1b2；(2)两条直线重合k1k2，且b1b2；(3)l1l2k1k21.跟踪训练3已知直线l：y(a22)x2a9与直线yx1垂直，且与直线y3x5在y轴上的截距相同，求a的值.考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用解由题意知(a22)1，解得a2.当a2时，直线l：y2x13；当a2时，直线l：y2x5.又直线l与直线y3x5在y轴上的截距相同，a2.1.方程yk(x2)表示()a.通过点(2,0)的所有直线b.通过点(2,0)的所有直线c.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线d.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线考点直线的点斜式方程题点直线点斜式方程的应用答案c解析易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴.2.直线ykxb通过第一、三、四象限，则有()a.k0，b0 b.k0，b0c.k0 d.k0，b0，b0，b0，b0，矛盾；对于b，由l1得a0，而由l2得a0，b0，矛盾；对于c，由l1得a0，b0，而由l2得a0，矛盾；对于d，由l1得a0，b0，而由l2得a0，b0.故选d.二、填空题9.在y轴上的截距为6，且与y轴相交成30角的直线的斜截式方程是_.考点直线的斜截式方程题点写出直线的斜截式方程答案yx6或yx6解析因为直线与y轴相交成30角，所以直线的倾斜角为60或120，所以直线的斜率为或，又因为在y轴上的截距为6，所以直线的斜截式方程为yx6或yx6.10.已知直线y(32k)x6不经过第一象限，则k的取值范围为_.考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用答案解析由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k.11.若原点在直线l上的射影是p(2,1)，则直线l的点斜式方程为_.考点直线的点斜式方程题点求直线的点斜式方程答案y12(x2)解析直线op的斜率为，又opl，直线l的斜率为2，直线l的点斜式方程为y12(x2).12.斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线的斜截式方程是_.考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用答案yx3解析设所求直线的斜截式方程为yxb，令y0，得x，由题意得|b| 12，即|b|b|b|12，4|b|12，b3，所求直线的斜截式方程为yx3.三、解答题13.已知直线l经过点(6,4)，且与直线y3(x2)平行，求直线l的点斜式方程.考点直线的点斜式方程题点求直线的点斜式方程解由于直线l与直线y3(x2)平行，可得直线l的斜率为，又直线l过点(6,4)，由直线的点斜式方程可得，直线l的方程为y4(x6).四、探究与拓展14.将直线yx1绕其上面一点(1，)沿逆时针方向旋转15，所得到的直线的点斜式方程是_.考点直线的斜截式方程题点写出直线的斜截式方程答案y(x1)解析由yx1得直线的斜率为1，倾斜角为45.沿逆时针方向旋转15后，倾斜角变为60，所求直线的斜率为.又直线过点(1，)，由直线的点斜式方程可得y(x1).15.已知直线l的方程为3x4y120，求l的斜截式方程，使得：(