人教B版必修二 1.1.2　棱柱、棱锥和棱台的结构特征 学案.doc

1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.了解多面体的定义及其分类.(重点)2.理解棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征.(重点)3.在棱柱、棱锥、棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系.(难点)基础初探教材整理1多面体的有关概念阅读教材p6内容，完成下列问题.1.定义由若干个平面多边形所围成的几何体叫做多面体.2.相关概念图11173.凸多面体把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体.如图1118，观察下列多面体，有什么共同特点？图1118【解】(1)有两个面相互平行；(2)其余各面都是平行四边形；(3)每相邻两个四边形的公共边都相互平行.教材整理2棱柱、棱锥、棱台的结构特征阅读教材p7“棱柱的结构特征”至p10“练习”以上，完成下列问题.1.棱柱的结构特征名称结构特征图形及表示法分类棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻的侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如上、下底面分别是四边形abcd、四边形abcd的四棱柱，可记为棱柱abcdabcd依据底面多边形的边数.例如：三棱柱(底面是三角形)，四棱柱(底面是四边形)2.棱锥的结构特征名称结构特征图形及表示法分类棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱用顶点和底面各顶点的字母表示，如上图中棱锥可表示为棱锥sabcd依据底面多边形的边数.例如：三棱锥(底面是三角形)，四棱锥(底面是四边形)3.棱台的结构特征名称结构特征图形及表示法分类棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.用上下底面的顶点表示棱台.如：上、下底面分别是四边形abcd、四边形abcd的四棱台，可记为棱台abcdabcd按照棱台底面多边形的边数分类.例如：三棱台(由三棱锥截得)，四棱台判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥.()(2)棱台的侧棱长都相等.()(3)棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形.()(4)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形.()【答案】(1)(2)(3)(4)小组合作型棱柱、棱锥、棱台的概念下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是_.(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台.(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形.(3)棱锥的侧面只能是三角形.(4)棱台的各侧棱延长后必交于一点.(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.【精彩点拨】【自主解答】(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；(4)正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；(5)错误，如图所示四棱锥被平面pbd截成的两部分都是棱锥.【答案】(2)(3)(4)判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等.再练一题1.下列关于棱柱的说法正确的个数是()四棱柱是平行六面体；有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；底面是正多边形的棱柱是正棱柱.a.1 b.2c.3d.4【解析】四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四边形，故不正确.说法就是棱柱的定义，故正确；对比定义，显然不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故不正确.【答案】a几种常见四棱柱的关系下列说法中正确的是()a.直四棱柱是直平行六面体b.直平行六面体是长方体c.六个面都是矩形的四棱柱是长方体d.底面是正方形的四棱柱是正四棱柱【自主解答】直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故a错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故b错；c正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故d错.【答案】c几种常见四棱柱的关系再练一题2.一个棱柱是正四棱柱的条件是()a.底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱b.底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱c.底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱d.底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱【解析】选项a、b中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定是直四棱柱，c中底面不是正方形，故排除选项a、b、c，所以选d.【答案】d对多面体的识别和判断如图1119长方体abcda1b1c1d1.图1119(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面bcfe把这个长方体分成两部分后，各部分的几何体还是棱柱吗？若是棱柱指出它们的底面与侧棱. 【导学号：45722006】【精彩点拨】【自主解答】(1)这个长方体是棱柱，是四棱柱，因为它满足棱柱的定义.(2)截面bcfe右侧部分是三棱柱，它的底面是beb1与cfc1，侧棱是ef，b1c1，bc.截面左侧部分是四棱柱，它的底面是四边形abea1与四边形dcfd1，侧棱是ad，bc，ef，a1d1.正确判断几何体类型的方法要正确判断几何体的类型，就要熟练掌握各类简单几何体的结构特征.对于有些四棱柱，互相平行的平面不只是两个，所以对于底面来说并不固定.棱柱的概念中两个面互相平行，指的是两个底面互相平行.但由于棱柱的放置方式不同，两个底面的位置就不一样，但无论如何放置，都应该满足棱柱的定义.再练一题3.如图1120，下列几何体中，_是棱柱，_是棱锥，_是棱台(仅填相应序号).图1120【解析】结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知是棱柱，是棱锥，是棱台.【答案】几何体的计算问题一个棱台的上、下底面积之比为49，若棱台的高是4 cm，求截得这个棱台的棱锥的高.【精彩点拨】本题主要考查棱台和棱锥的联系，解题的关键是理解棱台的概念和运用好图形中的相似关系，可将棱台还原为棱锥解决.【自主解答】如图所示，将棱台还原为棱锥，设po是原棱锥的高，oo是棱台的高，棱台的上、下底面积之比为49，它们的底面对应边长之比abab23，papa23.由于aoao，即.po12 cm，即原棱锥的高是12 cm.1.由于棱台是由棱锥用平行于底面的平面截来的，因此棱台上、下底面是相似多边形.它们的面积比等于相似比的平方，而相似比又等于小、大棱锥的高之比、侧棱长之比.2.解答此类问题的关键是画好图形，找出棱台与截得棱台的棱锥的量的关系，画图时为了简便，也可以画截面图.再练一题4.如图1121所示，正四棱台ac的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高. 【导学号：45722007】图1121【解】设棱台ac两底面的中心分别是o和o，bc、bc的中点分别是e、e，连接oo、ee、ob、ob、oe、oe，则四边形obbo、oeeo都是直角梯形，且oo17 cm.在正方形abcd中，bc16 cm，则ob8cm，oe8 cm.在正方形abcd中，bc4 cm，则ob2 cm，oe2 cm.在直角梯形oobb中，bb19(cm).在直角梯形ooee中，ee5(cm).即这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5 cm.探究共研型棱柱、棱锥、棱台的结构特征探究1若一个几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，这个几何体是否是棱柱？【提示】如图所示的几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但这个几何体不是棱柱而是两个棱柱组合的几何体.其原因是不具备条件“每相邻两个四边形的公共边都互相平行”.探究2有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？【提示】未必是棱锥.如图所示的几何体，满足各面都是三角形，但这个几何体不是棱锥，因为它不满足条件“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”.探究3若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台吗？【提示】未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，如图，用一个平行于楔形几何体底面的平面去截楔形几何体，截面与底面之间的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台，所以看一个几何体是否为棱台，不仅要看是否有两个面平行，其余各面是否为梯形，还要看其侧棱延长后是否交于一点.如图1122，以下关于几何体的正确说法的序号为_.这是一个六面体；这是一个四棱台；这是一个四棱柱；此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.图1122【精彩点拨】解答关于空间几何体概念的判断题，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断，同时注意分类讨论思想的应用.【解析】正确.因为有六个面，属于六面体的范围.错误.因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确.正确.如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱.都正确.如图所示.【答案】1.解答本题的关键是正确掌握棱柱的几何特征，本题易出现认为所分两部分的几何体一个是棱柱，一个是棱台的错误.2.在利用几何体的概念进行判断时，要紧扣定义，注意几何体间的联系与区别，不要认为底面就是上下位置，如此题，底面也可放在前后位置.再练一题5.如图1123，能推断这个几何体是三棱台的是()图1123a.a1b12，ab3，b1c13，bc4b.a1b11，ab2，b1c11.5，bc2，a1c12，ac4c.a1b11，ab2，b1c11.5，bc3，a1c12，ac4d.a1b1ab，b1c1bc，c1a1ca【解析】因为三棱台的上下底面相似，所以该几何体如果是三棱台，则a1b1c1abc，所以，c正确.【答案】c1.下列几何体中是棱柱的个数有()图1124a.5个 b.4个 c.3个 d.2个【解析】由棱柱的定义知是棱柱，选d.【答案】d2.对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是()a.棱柱 b.棱锥c.棱台d.一定不是棱柱、棱锥【解析】有两个面互相平行，故此多面体一定不是棱锥，其余各面都是梯形，所以也不是棱柱，棱柱的侧面都是平行四边形，选d.【答案】d3.如图1125所示，在棱锥abcd中，截面efg平行于底面，且aeab13，已知bcd的周长是18，则efg的周长为_.图1125【解析】由已知得efbc，fgc