人教B版选修21 第二章 2.2.2　椭圆的几何性质 学案.doc

2.2.2椭圆的几何性质第1课时椭圆的几何性质学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考观察椭圆1(ab0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案(1)范围：axa，byb；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点a1(a,0)，a2(a,0)，b1(0，b)，b2(0，b)梳理椭圆的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标(c,0)(0，c)对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标a1(a,0)，a2(a,0)，b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)，b1(b,0)，b2(b,0)范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a长轴、短轴长轴a1a2长为2a，短轴b1b2长为2b知识点二椭圆的离心率思考如何刻画椭圆的扁圆程度？答案用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁梳理(1)椭圆的焦距与长轴长的比e称为椭圆的离心率(2)因为ac，故椭圆离心率e的取值范围为(0,1)，当e越近于1时，椭圆越扁，当e越近于0时，椭圆越圆1椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点()2椭圆上的点到焦点的距离的最大值为ac.()3椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆()4椭圆1(ab0)的长轴长等于a.()类型一椭圆的几何性质例1求椭圆m2x24m2y21(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解由已知得1(m0)，0m24m2，椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a，短半轴长b，半焦距c，椭圆的长轴长2a，短轴长2b，焦点坐标为，顶点坐标为，离心率e.反思与感悟从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质跟踪训练1已知椭圆c1：1，设椭圆c2与椭圆c1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆c2的焦点在y轴上(1)求椭圆c1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆c2的方程，并研究其性质解(1)由椭圆c1：1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(6,0)，离心率e.(2)椭圆c2：1.性质如下：范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；焦点：(0,6)，(0，6)；离心率：e.类型二椭圆几何性质的简单应用例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.解(1)由题意知，2c8，c4，e，a8，从而b2a2c248，椭圆的标准方程是1.(2)由已知得从而b29，所求椭圆的标准方程为1或1.反思与感悟在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b.跟踪训练2根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.解(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为1(ab0)依题意有解得椭圆的标准方程为1.同样地可求出当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为1.故所求椭圆的标准方程为1或1.(2)依题意有bc6，a2b2c272，所求椭圆的标准方程为1.例3椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e，已知点p到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程解设所求椭圆方程为1(ab0)，a2b.椭圆方程为1.设椭圆上点m(x，y)到点p的距离为d，则d2x224b2y23y324b23，令f(y)324b23.(1)当b，即b时，df4b237，解得b1，椭圆方程为y21.(2)当b，即0b，与b0)，则此椭圆的离心率为()a.b.c.d.答案b解析由2x23y2m(m0)，得1，c2，e2，e.3若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()a.b.c.d.答案b解析由题意有2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，e或e1(舍去)4已知点(m，n)在椭圆8x23y224上，则2m4的取值范围是_答案42，42解析因为点(m，n)在椭圆8x23y224上，即在椭圆1上，所以点(m，n)满足椭圆的范围|x|，|y|2，因此|m|，即m，所以2m442，425.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为_答案(0，)解析由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，)1可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理2椭圆的定义式：|pf1|pf2|2a(2a|f1f2|)，在解题中经常将|pf1|pf2|看成一个整体灵活应用3利用正弦、余弦定理处理pf1f2的有关问题4椭圆上的点到一焦点的最大距离为ac，最小距离为ac.一、选择题1椭圆4x249y2196的长轴长、短轴长、离心率依次是()a7,2，b14,4，c7,2，d14,4，答案b解析先将椭圆方程化为标准形式1，其中b2，a7，c3.2.如图，直线l：x2y20过椭圆的左焦点f1和一个顶点b，则椭圆的离心率为()a.b.c.d.答案d解析x2y20，yx1，.3焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为()a.1b.1c.1d.1答案a解析依题意得c2，ab10，又a2b2c2，从而解得a6，b4.4若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为，则m等于()a.b.c.d.答案b解析a22，b2m，e，m.5若椭圆1的离心率为，则k的值为()a.b3c.或3d3或答案c解析若焦点在x轴上，则12，k；若焦点在y轴上，则，k3，故选c.6已知椭圆1(ab0)的焦点分别为f1，f2，|f1f2|2，离心率e，则椭圆方程为()a.1b.y21c.1d.1答案c解析因为|f1f2|2，离心率e，所以c1，a2，所以b23，即椭圆方程为1.7过椭圆1(ab0)的左焦点f1作x轴的垂线交椭圆于点p，f2为右焦点，若f1pf260，则椭圆的离心率为()a.b.c.d.答案b解析由题意得，点p的坐标为或，因为f1pf260，所以，即2acb2(a2c2)，所以e22e0，解得e或e(舍去)8设f1，f2是椭圆e：1(ab0)的左、右焦点，p为直线x上一点，f2pf1是底角为30的等腰三角形，则椭圆e的离心率为()a.b.c.d.答案c解析设直线x与x轴交于点m，则pf2m60，在rtpf2m中，|pf2|f1f2|2c，|f2m|c，故cos60，解得，故离心率e.二、填空题9若椭圆x2my21的离心率为，则m_.答案或4解析方程化为x21，则有m0且m1.当1时，依题意有，解得m.综上，m或4.10已知椭圆c的上，下顶点分别为b1，b2，左，右焦点分别为f1，f2，若四边形b1f1b2f2是正方形，则此椭圆的离心率e_.答案解析因为四边形b1f1b2f2是正方形，所以bc，所以a2b2c22c2，所以e.11若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆x2y21的切线，切点分别为a，b，直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是_答案1解析x1是圆x2y21的一条切线椭圆的右焦点为a(1,0)，即c1.设p，则kop，opab，kab2，则直线ab的方程为y2(x1)，它与y轴的交点为(0,2)b2，a2b2c25，故椭圆的方程为1.三、解答题12已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短轴长、焦点坐标、顶点坐标解椭圆方程可化为1，m0.m0，m，a2m，b2，c.由e，得，m1.椭圆的标准方程为x21，a1，b，c.椭圆的长轴长和短轴长分别为2a2和2b1，焦点坐标为f1，f2，四个顶点的坐标分别为a1(1,0)，a2(1,0)，b1，b2.13.如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，f，a分别是椭圆的一个焦点和顶点，p是椭圆上任意一点，求的最大值和最小值解设p点坐标为(x0，y0)由题意知a2，e，c1，b2a2c23.所求椭圆方程为1.2x02，y0.又f(1,0)，a(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，xx02yxx01(x02)2.当x02时，取得最小值0，当x02时，取得最大值4.四、探究与拓展14椭圆1和k(k0，a0，b0)具有()a相同的顶点b相同的离心率c相同的焦点d相同的长轴和短轴答案b解析不妨设ab0，则椭圆k的离心率e2.而椭圆1的离心率e1，故选b.15已知椭圆e的中心在坐标原点o，两个焦点分别为a(1，0)，b(1,0)，一个顶点为h(2,0