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文档简介
2.2.2 双曲线的几何性质(建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1双曲线1的渐近线方程是()a4x3y0b16x9y0c3x4y0 d9x16y0【解析】由题意知,双曲线焦点在x轴上,且a3,b4,渐近线方程为yx,即4x3y0.【答案】a2中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线3x4y120上的等轴双曲线方程是()ax2y28 bx2y24cy2x28 dy2x24【解析】令y0,得x4,等轴双曲线的一个焦点坐标为(4,0),c4,a2b2c2168,故选a.【答案】a3设双曲线1(a0,b0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为() 【导学号:25650072】ayx by2xcyx dyx【解析】由已知,得b1,c,a.因为双曲线的焦点在x轴上,所以渐近线方程为yxx.【答案】c4已知双曲线1(a0)的离心率为2,则a()a2 b.c. d1【解析】由题意得e2,2a,a234a2,a21,a1.【答案】d5与曲线1共焦点,且与曲线1共渐近线的双曲线的方程为()a.1 b.1c.1 d.1【解析】根据椭圆方程可知焦点为(0,5),(0,5)设所求双曲线方程为(0),即1.由64(36)25,得.故所求双曲线的方程为1.【答案】a二、填空题6已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为_【解析】由三角形相似或平行线分线段成比例定理得,3,即e3.【答案】37直线xy0被双曲线x2y21截得的弦ab的长是_【解析】联立消去y,得x23x20,设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1x23,x1x22,|ab|2.【答案】28若直线x2与双曲线x21(b0)的两条渐近线分别交于点a,b,且aob的面积为8,则焦距为_【解析】由双曲线为x21得渐近线为ybx,则交点a(2,2b),b(2,2b)saob24b8,b2.又a21,c2a2b25.焦距2c2.【答案】2三、解答题9已知双曲线c的方程为1(a0,b0),离心率e,顶点到渐近线的距离为,求双曲线c的方程【解】依题意,双曲线的焦点在y轴上,顶点坐标为(0,a),渐近线方程为yx,即axby0,所以.又e,所以b1,即c2a21,2a21,解得a24,故双曲线方程为x21.10双曲线1(a0,b0)的两个焦点为f1,f2,若双曲线上存在点p,使|pf1|2|pf2|,试确定双曲线离心率的取值范围.【导学号:25650073】【解】由题意知在双曲线上存在一点p,使得|pf1|2|pf2|,如图所示又|pf1|pf2|2a,|pf2|2a,即在双曲线右支上恒存在点p,使得|pf2|2a,即|af2|2a.|of2|oa|ca2a,c3a.又ca,ac3a,13,即1e3.能力提升1双曲线1的离心率e(1,2),则k的取值范围是()a(10,0)b(12,0)c(3,0) d(60,12)【解析】双曲线方程化为1,则a24,b2k,c24k,e,又e(1,2),12,解得12k0,b0),由题意知c3,a2b29,设a(x1,y1),b(x2,y2),则有两式作差得,又ab的斜率是1,所以4b25a2,代入a2b29得a24,b25,所以双曲线标准方程是1.【答案】b3已知双曲线x21的左顶点为a1,右焦点为f2,p为双曲线右支上一点,则的最小值为_【解析】由题意得a1(1,0),f2(2,0),设p(x,y)(x1),则(1x,y),(2x,y),(x1)(x2)y2x2x2y2,由双曲线方程得y23x23,代入上式得4x2x542,又x1,所以当x1时,取得最小值,且最小值为2.【答案】24双曲线c的中点在原点,右焦点为f,渐近线方程为yx.(1)求双曲线c的方程; 【导学号:25650074】(2)设直线l:ykx1与双曲线交于a,b两点,问:当k为何值时,以ab为直径的圆过原点?【解】(1)设双曲线的方程为1,由焦点坐标得c,渐近线方程为yxx,结合c2a2b2得a2,b21,所以双曲线c的方程为y21,即3x2y21.(2)由得(3k2)x22kx20,由0,且3k20,得k,且k.设a(x1,y1),b(x2,y2
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