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双曲线的标准方程 复习引入 问题2 如果把上述椭圆定义中的 距离的和 改为 距离的差 那么点的轨迹会发生什么变化 椭圆 问题1 椭圆的定义 1 取一条拉链 2 如图把它固定在板上的两点f1 f2 3 拉动拉链 m 拉链运动的轨迹是什么 数学实验 思考 1 观察一下 动点m所满足的几何条件是什么 2 常数与 f1f2 的大小关系如何 为什么 mf1 mf2 常数2a 常数 f1f2 如图 a mf1 mf2 f2f 2a 如图 b mf2 mf1 2a 上面两条曲线合起来叫做双曲线 每条叫做双曲线的一支 由 可得 mf1 mf2 2a 2a 2c 差的绝对值 f 两个定点f1 f2 双曲线的焦点 f1f2 2c 焦距 2a f1f2 平面内与两个定点f1 f2的距离的差的绝对值等于常数 小于 f1f2 的点的轨迹叫做双曲线 双曲线定义 思考 1 若2a f1f2 则轨迹是 若2a f1f2 则轨迹是 mf1 mf2 2a 两条射线 不表示任何轨迹 2 mf1 mf2 2a 则轨迹是 双曲线的一支 x o 设p x y 双曲线的焦距为2c c 0 f1 c 0 f2 c 0 常数 2a f1 f2 p 以f1 f2所在的直线为x轴线段f1f2的中点为原点建立直角坐系 1 建系 2 设点 3 列式 pf1 pf2 2a 4 化简 如何求双曲线的标准方程 类比椭圆 移项两边平方后整理得 两边再平方后整理得 由双曲线定义知 设 代入上式整理得 焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么 想一想 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 问题 如何判断双曲线的焦点在哪个轴上 f c 0 f 0 c 4 x2与y2的系数符号 决定焦点所在的坐标轴 x2 y2哪个系数为正 焦点就在哪个轴上 双曲线的焦点所在位置与分母的大小无关 焦点在x轴上 焦点在y轴上 两种标准方程的比较 1 方程用 号连接 2 分母是 但是a b大小不定 3 小试牛刀 判断下列方程是否表示双曲线 若是 求出a b c及焦点坐标 1 2 3 题后反思 先把非标准方程化成标准方程 再判断焦点所在坐标轴 表示双曲线m n满足什么条件 mn 0 4 根据条件求双曲线的标准方程 例1已知双曲线的两个焦点分别为f1 5 0 f2 5 0 双曲线上一点p到f1 f2的距离的差的绝对值等于8 求双曲线的标准方程 例1已知双曲线的焦点为f1 5 0 f2 5 0 双曲线上一点p到f1 f2的距离的差的绝对值等于8 求双曲线的标准方程 2a 8 c 5 a 4 c 5 b2 52 42 9 所以所求双曲线的标准方程为 根据双曲线的焦点在x轴上 设它的标准方程为 解 点p的轨迹为双曲线 变式 1 焦距为10 2 pf1 pf2 8 先定型 后定量 4 经过两点 3 焦点坐标为 经过点 mf1 mf2 2a 2a f1f2 f c 0 f 0 c 小结 f c 0 f c 0 a 0 b 0 但a不一定大于b c2 a2 b2
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