人教B版选修21 第三章空间向量与立体几何 章末综合测评.doc

(三)空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1与向量a(1，3,2)平行的一个向量的坐标是()a.b(1，3,2)c. d【解析】a(1，3,2)2.【答案】c2两平行平面，分别经过坐标原点o和点a(2,1,1)，且两平面的一个法向量n(1,0,1)，则两平面间的距离是()a. bc. d3【解析】两平面间的距离d.【答案】b3已知a(2，4，1)，b(1,5,1)，c(3，4,1)，d(0,0,0)，令a，b，则ab为()a(5，9,2) b(5,9，2)c(5,9，2) d(5，9，2)【解析】a(1,0，2)，b(4,9,0)，ab(5,9，2)【答案】b4在平行六面体abcda1b1c1d1中，若a2b3c，则abc的值等于() 【导学号：15460084】a. bc. d【解析】a2b3c，a1，b，c，abc.【答案】d5在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，下列结论不正确的是()a. b0c.0 d0【解析】如图，故a，b，c选项均正确【答案】d6已知向量a，b是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“ca0，且cb0”是l的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件【解析】若l，则l垂直于内的所有直线，从而有ca0，cb0.反之，由于a，b是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立【答案】b7已知abc的三个顶点为a(3,3,2)，b(4，3,7)，c(0,5,1)，则bc边上的中线长为()a2b3 c4d5【解析】设bc的中点为d，则d(2,1,4)，(1，2,2)，|3，即bc边上的中线长为3.【答案】b8若向量a(x,4,5)，b(1，2,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则x()a3 b3c11 d3或11【解析】因为ab(x,4,5)(1，2,2)x810x2，且a与b的夹角的余弦值为，所以，解得x3或11(舍去)，故选a.【答案】a9.如图1，在长方体abcda1b1c1d1中，abbc2，aa11，则bc1与平面bb1d1d所成的角的正弦值为()图1a. bc. d【解析】以d点为坐标原点，以da，dc，dd1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则a(2,0,0)，b(2,2,0)，c(0,2,0)，c1(0,2,1)，(2,0,1)，(2,2,0)，且为平面bb1d1d的一个法向量cos，.sin1，|cos1，|，bc1与平面bb1d1d所成的角的正弦值为.【答案】d10已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，则cd与平面bdc1所成角的正弦值等于()a. bc. d【解析】以d为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设aa12ab2，则d(0,0,0)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，c1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面bdc1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面bdc1的一个法向量为n(2，2,1)设cd与平面bdc1所成的角为，则sin |cosn，|.【答案】a11已知正方体abcda1b1c1d1中，若点f是侧面cd1的中心，且mn，则m，n的值分别为()a.， b，c， d，【解析】由于()，所以m，n，故选a.【答案】a12在矩形abcd中，ab3，ad4，pa平面abcd，pa，那么二面角abdp的大小为()a30 b45c60 d75【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则，(3,4,0)设n(x，y，z)为平面pbd的一个法向量，则得即令x1，则n.又n1为平面abcd的一个法向量，cosn1，n，所求二面角为30.【答案】a二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13若a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，且a与b为共线向量，则x_，y_. 【导学号：15460085】【解析】由题意得，x，y.【答案】14abc的三个顶点坐标分别为a(0,0，)，b，c(1,0, )，则角a的大小为_【解析】，(1,0,0)，则cos a，故角a的大小为30.【答案】3015在空间直角坐标系oxyz中，已知a(1，2,3)，b(2,1，1)，若直线ab交平面xoz于点c，则点c的坐标为_【解析】设点c的坐标为(x,0，z)，则(x1,2，z3)，(1,3，4)，因为与共线，所以，解得所以点c的坐标为.【答案】16.如图2，在四棱锥sabcd中，底面abcd是边长为1的正方形，s到a，b，c，d的距离都等于2.图2给出以下结论：0；0；0；0，其中正确结论的序号是_【解析】容易推出：0，所以正确；又因为底面abcd是边长为1的正方形，sasbscsd2，所以22cosasb，22coscsd，而asbcsd，于是，因此正确；其余三个都不正确，故正确结论的序号是.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图3，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，pdqa，qaabpd.图3(1)证明：平面pqc平面dcq；(2)证明：pc平面baq.【证明】如图，以d为坐标原点，线段da的长为单位长，射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz.(1)依题意有q(1,1,0)，c(0,0,1)，p(0,2,0)，则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1，0)，所以0，0，即pqdq，pqdc且dqdcd.故pq平面dcq.又pq平面pqc，所以平面pqc平面dcq.(2)根据题意，(1,0,0)，(0,0,1)，(0,1,0)，故有0，0，所以为平面baq的一个法向量又因为(0，2,1)，且0，即dapc，且pc平面baq，故有pc平面baq.18. (本小题满分12分)如图4，在直三棱柱abca1b1c1中，abc90，abbc1，aa1，求异面直线ba1与ac所成角的余弦值图4【解】因为，且0，所以()()21.又|，|，所以cos，则异面直线ba1与ac所成角的余弦值为.19.(本小题满分12分)如图5，ab是圆的直径，pa垂直圆所在的平面，c是圆上的点图5(1)求证：平面pbc平面pac；(2)若ab2，ac1，pa1，求二面角cpba的余弦值【解】(1)证明：由ab是圆的直径，得acbc，由pa平面abc，bc平面abc，得pabc.又paaca，pa平面pac，ac平面pac，所以bc平面pac.因为bc平面pbc.所以平面pbc平面pac.(2)过c作cmap，则cm平面abc.如图，以点c为坐标原点，分别以直线cb，ca，cm为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系在rtabc中，因为ab2，ac1，所以bc.又因为pa1，所以a(0,1,0)，b(，0,0)，p(0,1,1)故(，0,0)，(0,1,1)设平面bcp的法向量为n1(x1，y1，z1)，则所以不妨令y11，则n1(0,1，1)因为(0,0,1)，(，1,0)，设平面abp的法向量为n2(x2，y2，z2)，则所以不妨令x21，则n2(1, ，0)于是cosn1，n2.由图知二面角cpba为锐角，故二面角cpba的余弦值为.20. (本小题满分12分)如图6，在四棱锥pabcd中，adbc，abad，abpa，bc2ab2ad4be，平面pab平面abcd.图6(1)求证：平面ped平面pac；(2)若直线pe与平面pac所成的角的正弦值为，求二面角apcd的余弦值【解】(1)证明：平面pab平面abcd，平面pab平面abcdab，abpa，pa平面abcd，又abad，故可建立空间直角坐标系oxyz如图所示，不妨设bc4，ap(0)，则有d(0,2,0)，e(2,1,0)，c(2,4,0)，p(0,0，)，(2,4,0)，(0,0，)，(2，1,0)，4400，0，deac，deap且acapa，de平面pac.又de平面ped，平面ped平面pac.(2)由(1)知，平面pac的一个法向量是(2，1，0)，(2,1，)，设直线pe与平面pac所成的角为，sin |cos，|，解得2.0，2，即p(0,0,2)，设平面pcd的一个法向量为n(x，y，z)，(2,2,0)，(0，2,2)，由n，n，不妨令x1，则n(1，1，1)cosn，显然二面角apcd的平面角是锐角，二面角apcd的余弦值为.21.(本小题满分12分)如图7，四棱锥pabcd的底面abcd为一直角梯形，其中baad，cdad，cdad2ab，pa底面abcd，e是pc的中点图7(1)求证：be平面pad；(2)若be平面pcd，求异面直线pd与bc所成角的余弦值；求二面角ebdc的余弦值【解】设aba，pab，建立如图的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(a,0,0)，p(0,0，b)，c(2a,2a,0)，d(0,2a,0)，e.(1)，(0,2a,0)，(0,0，b)，所以，因为be平面pad，所以be平面pad.(2)因为be平面pcd，所以bepc，即0，(2a,2a，b)，所以2a20，则b2a.(0,2a，2a)，(a,2a,0)，cos，所以异面直线pd与bc所成角的余弦值为.在平面bde和平面bdc中，(0，a，a)，(a，2a,0)，(a,2a,0)，所以平面bde的一个法向量为n1(2,1，1)；平面bdc的一个法向量为n2(0,0,1)；cosn1，n2，所以二面角ebdc的余弦值为.22(本小题满分12分)如图8，在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，e，f，m，n分别是棱ab，ad，a1b1，a1d1的中点，点p，q分别在棱dd1，bb1上移动，且dpbq(02)图8(1)当1时，证明：直线bc1平面efpq；(2)是否存在，使平面efpq与平面pqmn所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【解】以d为原点，射线da，dc，dd1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系由已知得b(2,2,0)，c1(0,2,2)，e(2,1,0)，f(1,0,0)，p(0,0，)，(2,0,2)，(1,0，)，(1,1,0)(1)当1时，(1,0,1