苏教版选修22 2.3 数学归纳法 第1课时 课件（30张）.pptx

第1课时数学归纳法 第2章2 3数学归纳法 学习目标1 了解数学归纳法的原理 2 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点数学归纳法 验证当n 1 n 2 n 50时等式成立吗 答案 答案成立 对于一个与正整数有关的等式n n 1 n 2 n 50 0 思考2 能否通过以上等式归纳出当n 51时等式也成立 为什么 答案 答案不能 上面的等式只对n取1至50的正整数成立 1 数学归纳法的定义一般地 对于某些与有关的数学命题 我们有数学归纳法公理 如果 当n取第一个值 例如n0 1 2等 时结论正确 假设当 k n 且k n0 时 证明当时结论也正确 那么 命题对于从n0开始的所有正整数n都成立 梳理 正整数 n0 n k 结论正确 n k 1 2 数学归纳法的框图表示 从n0开始的所 n n0 n k n k 1 有的正整数n 题型探究 例1用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n n 从k到k 1 左端增乘的代数式为 类型一从n k到n k 1左边增加的项 2 2k 1 解析令f n n 1 n 2 n n 则f k k 1 k 2 k k f k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 答案 解析 在书写f k 1 时 一定要把包含f k 的式子写出来 尤其是f k 1 中的最后一项 除此之外 多了哪些项都要分析清楚 反思与感悟 答案 解析 类型二用数学归纳法证明恒等式 证明 左边 右边 等式成立 假设当n k k n k 1 时 等式成立 当n k 1时 等式成立 由 可知 对一切n n 等式成立 数学归纳法证题的三个关键点 1 验证是基础 找准起点 奠基要稳 有些问题中验证的初始值不一定是1 2 递推是关键 数学归纳法的实质在于递推 所以从 k 到 k 1 的过程中 要正确分析式子项数的变化 关键是弄清等式两边的构成规律 弄清由n k到n k 1时 等式的两边会增加多少项 增加怎样的项 3 利用假设是核心 在第二步证明n k 1成立时 一定要利用归纳假设 即必须把归纳假设 n k时命题成立 作为条件来导出 n k 1时命题成立 这是数学归纳法的核心 不用归纳假设的证明就不是数学归纳法 反思与感悟 跟踪训练2用数学归纳法证明 1 3 5 2n 3 2n 1 2n 3 5 3 1 2n2 2n 1 证明 证明 当n 1时 左边 1 右边 2 12 2 1 1 1 等式成立 假设当n k k n 时 等式成立 即1 3 5 2k 3 2k 1 2k 3 5 3 1 2k2 2k 1 则当n k 1时 左边 1 3 5 2k 3 2k 1 2k 1 2k 1 2k 3 5 3 1 2k2 2k 1 2k 1 2k 1 2k2 2k 1 2 k 1 2 2 k 1 1 即当n k 1时 等式成立 由 知 对任意n n 等式都成立 当堂训练 1 若f n 12 22 32 2n 2 则f k 1 与f k 的递推关系式是 答案 2 3 4 1 解析 f k 12 22 2k 2 f k 1 12 22 2k 2 2k 1 2 2k 2 2 f k 1 f k 2k 1 2 2k 2 2 即f k 1 f k 2k 1 2 2k 2 2 解析 f k 1 f k 2k 1 2 2k 2 2 2 用数学归纳法证明 1 a a2 a2n 1 a 1 在验证n 1时 左端计算所得项为 答案 2 3 4 1 解析 1 a a2 a3 解析将n 1代入a2n 1得a3 3 已知数列 an 满足a1 1 且4an 1 anan 1 2an 9 那么可以通过求a2 a3 a4的值猜想出an 2 3 4 1 答案 4 请观察以下三个式子 2 3 4 1 解答 归纳出一般的结论 并用数学归纳法证明该结论 解结论 1 3 2 4 3 5 n n 2 2 3 4 1 证明 当n 1时 左边 3 右边 3 所以命题成立 假设当n k k 1 k n 时 命题成立 即1 3 2 4 3 5 k k 2 则当n k 1时 1 3 2 4 k k 2 k 1 k 3 2 3 4 1 所以当n k 1时 命题成立 由 知 命题成立 2 3 4 1 规律与方法 应用数学归纳法证题时的注意点 1 验证是基础 找准起点 奠基要稳 有些问题中验证的初始值不一定为1 2 递推是关键 正确分析由n k到