苏教版选修22 1.3.3最大值与最小值 学案.docx

1.3.3最大值与最小值学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值知识点函数的最大(小)值与导数如图为yf(x)，xa，b的图象思考1观察a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)思考2结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3)思考3函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？答案不一定，也可能是区间端点的函数值梳理(1)最大值与最小值如果在函数定义域i内存在x0，使得对任意的xi，总有f(x)f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值惟一如果在函数定义域i内存在x0，使得对任意的xi，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最小值最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值惟一(2)求f(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤求f(x)在区间(a，b)上的极值将第步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值类型一求函数的最值例1已知函数f(x)x33x，xr.(1)求f(x)的单调区间；(2)当x，3时，求f(x)的最大值与最小值解(1)f(x)3x233(x1)(x1)，当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0，则令f(x)0，解得x.又x0,1，则只考虑x的情况当01，即0a1时，列表如下.x(0，)(，1)f(x)0f(x)2af(x)maxf()2a.当1，即a1时，f(x)0，函数f(x)在0,1上单调递增，当x1时，f(x)有最大值f(1)3a1.综上，当a0，x0时，f(x)有最大值0；当0a0，b2，当x1,1时，求f(x)的最小值解(1)f(x)3ax23x，由f(2)6，得a1.由切线方程为y6x8，得f(2)4.又f(2)8a6bb2，所以b2，所以a1，b2.(2)f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0，解得x0或x，分以下两种情况讨论：当1，即0a1时，列表如下.x(1,0)0(0,1)f(x)0f(x)极大值f(0)f(1)a2，f(1)a2，所以f(x)minf(1)a.当01时，列表如下.x(1,0)0(0，)(，1)f(x)00f(x)极大值f(0)极小值f()f(1)a，f()2.而f()f(1)2(a)a0，所以f(x)minf(1)a.综合知，f(x)minf(1)a.类型二由函数的最值求参数例3已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值解由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去)当a0，且当x变化时，列表如下.x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.当af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题其中注意分类讨论思想的应用跟踪训练3(1)若函数f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析由f(x)33x20，得x1.列表如下.x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)22由此得a2121a，解得1a.又当x(1，)时，f(x)单调递减，且当x2时，f(x)2.a2.综上，10，求a的值解f(x)的定义域为(a，)，f(x)1.令f(x)0，解得x1aa.当ax1a时，f(x)1a时，f(x)0，f(x)在(1a，)上单调递增因此，f(x)在x1a处取得最小值，由题意知，f(1a)1a0，故a1.类型三与最值有关的恒成立问题例4已知2xln xx2ax3对一切x(0，)恒成立，求a的取值范围解由2xln xx2ax3，得a2ln xx.设h(x)2ln xx(x0)则h(x)，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增h(x)minh(1)4，ah(x)min4.反思与感悟分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练4设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)求a的取值范围，使得g(a)g(x)0成立解(1)由题设知f(x)的定义域为(0，)，f(x)，g(x)ln x，所以g(x).令g(x)0，得x1.当x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调增区间因此，x1是g(x)在(0，)上的惟一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)g(a)g(x)0成立，即ln a0成立由(1)知，g(x)的最小值为1，所以ln a1，解得0a0时，x0；当f(x)0时，2x0，解得x2或x2；令f(x)0，解得2xe时，y0；当0x0.y有极大值f(e)，且函数在定义域内只有一个极值，所以ymax.2函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10，则其最小值为_答案71解析f(x)3x26x93(x3)(x1)令f(x)0，得x3或x1.又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.由f(x)maxk510，得k5，f(x)mink7671.3已知函数f(x)x32ax23x(a0)的导数f(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1)处的切线方程是_答案15x3y20解析f(x)2x24ax32(xa)232a2，f(x)max32a25，a0，a1.f(x)2x24x3，f(1)2435.又f(1)23，所求切线方程为y5(x1)即15x3y20.4函数y在(0,1)上的最大值为_答案解析y，由y0得x.在上，y0，在上，y0.当x时，y取得极大值，极大值为，又x(0,1)，ymax.5已知a4x34x21对任意x2，1都成立，则实数a的取值范围是_答案(，15解析根据题意，a4x34x21对任意x2,1都成立，设函数f(x)4x34x21，x2,1求出导数f(x)12x28x，令f(x)0，得x0或.所以在区间(2，)上，f(x)0，函数为增函数，在区间(，0)上，f(x)0，函数为增函数，因此函数在闭区间2,1上，在x处取得极大值f()，在x0时函数取得极小值，且f(0)1，f(1)9，f(2)15，所以f(2)15是最小值，所以实数a15.6已知函数f(x)x22x3在区间a,2上的最大值为，则a_.答案解析当a1时，最大值为4，不符合题意当1a0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymaxsin .8函数f(x)(x2,2)的最大值是_答案2解析f(x)，令f(x)0，得x11，x21.f(2)，f(1)2，f(1)2，f(2)，f(x)max2.9已知函数f(x)ax3c，f(1)6，且函数f(x)在1,2上的最大值为20，则c_.答案4解析f(x)3ax2，f(1)3a6，a2.当x1,2时，f(x)6x20，即f(x)在1,2上是增函数，f(x)在1,2上的最大值为f(2)223c20，c4.10已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_答案(，2ln 22解析由题意知ex2xa0有根，即a2xex，令g(x)2xex，则g(x)2ex0，解得xln 2.而g(x)在(，ln 2)上单调递增，在(ln 2，)上单调递减，g(x)max2ln 2eln 22ln 22，a2ln 22.11若函数f(x)x33x在(a,6a2)上有最小值，则实数a的取值范围是_答案2,1)解析令f(x)3x230，得x1，且x1为函数的极小值点，x1为函数的极大值点函数f(x)在区间(a,6a2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6a2)内，即实数a满足a16a2，且f(a)a33af(1)2.解a16a2，得a0，解得x，令f(x)0，解得0x1时，g(x)0，故g(x)在(1，)上是增函数，所以g(x)的最小值是g(1)1.因此ag(x)ming(1)1，故a的取值范围为(，1三、探究与拓展14已知aln x对任意x，2恒成立，则实数a的最大值为_答案0解析令f(x)ln x，则f(x)，当x，1)时，f(x)0，f(x)在，1)上单调递减，在(1,2上单调递增，f(x)minf(1)0，a0，a的最大值为0.15已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0