人教B版选修22 1.3.2利用导数研究函数的极值（二） 学案1.doc

课堂导学三点剖析一、利用导数求最值【例1】 已知x、y为正实数,且满足关系式x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.思路分析:题中有两个变量x和y,首先应选择一个主变量,可利用换元法,然后再求导.解：由x2-2x+4y2=0,得(x-1)2+4y2=1(x0,y0).设x-1=cos,y=sin(0),xy=sin(1+cos).设f()=sin(1+cos)=sin+sincos,f()=cos+cos2-sin2=(2cos2+cos-1)=(cos+1)(cos-).令f()=0,得cos=-1或cos=.0,=,此时x=,y=.f()=.f()max=,即当x=,y=时,（xy）max=.温馨提示 在实现转化的过程中,关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件,以免陷入困境.二、求最值的常见技巧【例2】（2005北京高考） 已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,(1)求f(x)的单调减区间;(2)若f(x)在区间-2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.解：（1）f(x)=-3x2+6x+9.令f(x)0，解得x3，所以函数f(x)的单调递减区间为（-,-1)，（3+）.(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)f(-2).因为在（-1，3）上f(x)0，所以f(x)在-1，2上单调递增，又由于f(x)在-2，-1上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2，2上的最大值和最小值.于是有22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2.因此f(-1)=1+3-9-2=7,即函数f(x)在区间-2，2上的最小值为-7.温馨提示 注意比较求函数的极值与最大值的不同.三、综合应用【例3】 设函数f(x)是定义在-1,0)(0,1上的偶函数,当x-1,0)时,f(x)=x3-ax(ar).(1)当x(0,1时,求f(x)的解析式;(2)若a3,试判断f(x)在(0,1上的单调性,并证明你的结论;(3)是否存在a,使得当x(0,1时,f(x)有最大值1.解：(1)x(0,1时,-x-1,0),f(-x)=(-x)3-a(-x)=ax-x3.又f(x)为偶函数,f(-x)=f(x),即f(x)=ax-x3.(2)f(x)=-3x2+a,x(0,1,x2(0,1.-3x2-3.a3,-3x2+a0,故f(x)在(0,1上为增函数.(3)假设存在a,使得当x(0,1时,f(x)有最大值1.f(x)=a-3x2.令f(x)=0,-3x2+a=0,即a0时,x=.又x(0,1,x=且0,f(x)为增函数.当x(-2,2)时,f(x)0,f(x)为减函数.当x,1时,f(x)为减函数.f(x)min=f(1)=-5,f(x)max=f()=.变式提升 1 求y=|3x-x3|在-2,2上的最大值及最小值.解:f(x)=y=|3x-x3|=|x|3-x2|满足f(-x)=f(x)为偶函数,只需考查其在0,2上的最大值或最小值.又f(x)=|3x-x3|=故f(x)= 令f(x)=0,得x=1.f(0)=0,f(2)=2,f()=0,f(1)=2,f(x)在-2,2上的最大值为2,最小值为0.类题演练 2 求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间-2,2上的最大值与最小值.解:y=-36+6x+12x2=6(2x2+x-6).令y=0,解得x1=-2,x2=.因为f(-2)=57,f()=-28,f(2)=-23,所以函数的最大值为57,最小值为-28.变式提升 2 求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间-1,1上的最值.解:f(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2),因为f(x)在-1,1内恒大于0,所以f(x)在-1,1上是增函数,故当x=-1时,f(x)取得最小值-12,当x=1时,f(x)取得最大值2.即f(x)的最大值为2,最小值为-12.类题演练3： 当x(1,2时,函数f(x)=恒大于正数a,试求函数y=lg(a2-a+3)的最小值.解:y=(,当x(1,2时,y0,f(x)在(1,2上单调递减,于是f(x)min=f(2)=.由题意知a的取值范围是a.y=lg(a2-a+3)=lg(a-)2+,故当a=时,ymin=lg.变式提升 3 如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中,有一矩形abcd,求这个矩形abcd的最大面积.解:设点b的坐标为(x,0)(0x2),则矩形abcd的面