苏教版选修22 1.3.2极大值与极小值(一) 学案.docx

1.3.2极大值与极小值(一)学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件知识点一函数的极值点和极值思考1观察yf(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值答案极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h)思考2导数为0的点一定是极值点吗？答案不一定，如f(x)x3，尽管由f(x)3x20，得出x0，但f(x)在r上是单调递增的，不满足在x0的左、右两侧符号相反，故x0不是f(x)x3的极值点梳理(1)极小值点与极小值若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，就把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)极大值点与极大值若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)1时，f(x)6xx(a1)，列表如下.x(，0)0(0，a1)a1(a1，)f(x)00f(x)极大值f(0)极小值f(a1)从上表可知，函数f(x)在(，0)上单调递增，在(0，a1)上单调递减，在(a1，)上单调递增(2)由(1)知，当a1时，函数f(x)没有极值当a1时，函数在x0处取得极大值1，在xa1处取得极小值1(a1)3.反思与感悟含参数的函数求极值应从f(x)0的两根x1，x2相等与否入手进行跟踪训练2已知函数f(x)xaln x(ar)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点a(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1.所以曲线yf(x)在点a(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0知，当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，令f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值类型二已知函数极值求参数例3(1)已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，求a、b的值；(2)若函数f(x)x3x2ax1有极值点，求a的取值范围解(1)f(x)3x26axb，且函数f(x)在x1处有极值0.即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)在r上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(，3)时，f(x)0，此时f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)为增函数故f(x)在x1时取得极小值，a2，b9.(2)f(x)x22xa，由题意，方程x22xa0有两个不等的实数根，所以44a0，解得a1.引申探究1若本例(2)中函数的极大值点是1，求a的值解f(x)x22xa，由题意得f(1)12a0，解得a3，则f(x)x22x3，经验证可知，f(x)在x1处取得极大值2若本例(2)中函数f(x)有两个极值点，均为正值，求a的取值范围解由题意，方程x22xa0有两个不等正根，设为x1，x2，则解得0a1.故a的取值范围是(0,1)反思与感悟已知函数极值的情况，逆向应用，确定函数的解析式时，应注意两点(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性跟踪训练3(1)函数f(x)x3ax2bxc的图象如图所示，且与直线y0在原点处相切，函数的极小值为4.求a，b，c的值；求函数的递减区间解函数图象过原点，c0，即f(x)x3ax2bx，f(x)3x22axb.又函数f(x)的图象与直线y0在原点处相切，f(0)0，解得b0，f(x)3x22axx(3x2a)由f(x)0，得x0或x.由题意可知，当x时，函数取得极小值4，()3a()24，解得a3.a3，bc0.由知，f(x)x33x2，且f(x)3x(x2)由f(x)0，得3x(x2)0，0x0)上存在极值，求实数a的取值范围解f(x)，x0，则f(x).当0x0，当x1时，f(x)0)上存在极值，解得a0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调减区间为_答案(1,1)解析令f(x)3x23a0，得x，令f(x)0，得x或x；令f(x)0，得x0)的极大值为6，极小值为2，f()2，f()6，即a3ab2，且a3ab6，得a1，b4，则f(x)3x23.令f(x)0，得1x1.则f(x)的单调减区间为(1,1)4函数f(x)x4ax32x2b，若f(x)仅在x0处有极值，则a的取值范围是_答案2，2解析f(x)3x32ax24x，令f(x)3x32ax24x0，可得x0或3x22ax40，f(x)仅在x0处有极值，4a2480，2a2.5已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴相切于点(1,0)，则f(x)的极大值、极小值分别为_答案，0解析f(x)3x22pxq.由函数f(x)的图象与x轴相切于点(1,0)，得f(1)1pq0，f(1)32pq0，由以上两式解得p2，q1，函数f(x)x32x2x，则f(x)3x24x1，令f(x)0，得x1或x.当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x1时，f(x)0，f(x)单调递减，当x1时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)极小值f(1)0，f(x)极大值f()，f(x)的极大值为，极小值为0.6若函数f(x)(x2)(x2c)在x2处有极值，则函数f(x)的图象在x1处的切线的斜率为_答案5解析函数f(x)(x2)(x2c)在x2处有极值，且f(x)(x2c)(x2)2x，f(2)0，(c4)(22)40，c4，f(x)(x24)(x2)2x.函数f(x)的图象在x1处的切线的斜率为f(1)(14)(12)25.7若函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有极小值，则b的取值范围是_答案(0,1)解析f(x)3x23b，当b0时，f(x)0，此时在(0,1)内单调递增当b0时，令f(x)0，即3x23b0，得x.当x(，)时，f(x)0，x是f(x)的极小值点，则01，0b1.8已知f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，则f(1)_.答案30解析由题意知即解得或经检验知，当时，f(x)0，不合题意f(x)x34x211x16，则f(1)30.9已知函数yx33xc恰有两个零点，则c_.答案2解析yx33xc有两个零点，即方程x33xc0有两个根，可转化为yx33x与yc的图象有两个交点对于yx33x，令y3x230，得x1.由图象(图略)可知，y有极大值(1)33(1)2，y有极小值13312.c2.10设ar，若函数yeax3x的极值点大于0，则a的取值范围是_答案(，3)解析令yf(x)，则f(x)aeax3，函数f(x)取极值的点大于0，即f(x)aeax30有正根当f(x)aeax30成立时，显然有a0，可得a时，y0；当x0.此函数无极值(2)显然函数yx|x|在x0处不可导，且y当x0时，yx2是单调增函数；当x0时，y2x，y0无解；当x0时，y2x，y0也无解，函数yx|x|没有极值(3)当x2时，有y.当x2时，y不存在，因此，y在x2处不可导但在点x2处的左右附近y均存在，当x0；当x2时，f(x)0.故yf(x)在点x2处有极大值，且极大值为f(2)1.12已知函数f(x)ax3bx2，当x1时，有极大值3.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极小值解(1)f(x)3ax22bx.由题意，知即解得(2)由(1)知f(x)6x39x2.所以f(x)18x218x18x(x1)令f(x)0，解得x11，x20.所以当x0时，f(x)0；当0x0；当x1时，f(x)0)有极大值，求m的值解f(x)3x2mx2m2(xm)(3x2m)，令f(x)0，则xm或xm.列表如下.x(，m)mmf(x)00f(x)极大值f(m)极小值f(m)f(m)m3m32m34，m1.三、探究与拓展14若函数yx33axa在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是_答案(1,4)解析y3x23a，当a0时，y0，函数yx33axa为单调函数，不合题意，舍去；当a0时，y3x23a0x，当12，即1a4时，函数yx33axa在(1,2)内有极小值15已知函数f(x)(x2axa)ex(a2，xr)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解(1)当a1时，f(x)(x2x1)ex，f(x)(2x1)ex(x2x1)ex(x23x2)ex.令f(x)0，解得x1；令f(x)0，解得2x1，所以函数的单调增区间为(，2)，(1，)，单调减区间为(2，1)(2)令f(x)(2xa)ex(x2axa)exx2(2