苏教版选修22 2.3 第3课时 用数学归纳法证明整除问题、几何问题 学案.docx

第3课时用数学归纳法证明整除问题、几何问题学习目标1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明整除问题、几何问题等数学命题的方法.2.掌握证明nk1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等知识点一归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明知识点二数学归纳法1应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n有关的数学命题2基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可3注意点：在第二步归纳递推时，从nk到nk1必须用上归纳假设类型一整除问题例1求证：当nn*时，an1(a1)2n1能被a2a1整除证明当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立假设当nk(kn*)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2a1整除，故当nk1时，命题成立由知，对任意nn*，命题成立反思与感悟证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成当nk时的情形，再利用归纳假设使问题获证跟踪训练1用数学归纳法证明(3n1)7n1(nn*)能被9整除证明当n1时，47127，能被9整除假设当nk (kn*)时，命题成立，即(3k1)7k1能被9整除，则当nk1时，(3k4)7k117(3k1)7k217k1(3k1)7k118k7k67k217k(3k1)7k118k7k277k，由假设知，(3k1)7k1能被9整除，又因为18k7k277k能被9整除，所以当nk1时，命题成立由知，对一切nn*，(3n1)7n1都能被9整除类型二几何问题例2平面内有n(nn*，n2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数为f(n).证明当n2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)2(21)1，当n2时，命题成立假设nk(k2，kn*)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数为f(k)k(k1)，那么当nk1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)k(k1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k1条直线共有f(k)k个交点，即f(k1)f(k)kk(k1)kk(k12)k(k1)(k1)(k1)1，当nk1时，命题成立由可知，对任意nn*，n2，命题都成立反思与感悟用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明跟踪训练2平面内有n(nn*)个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)n2n2部分证明当n1时，分为2块，f(1)2，命题成立；假设当nk(kn*)时，被分成f(k)k2k2部分，那么当nk1时，依题意，第k1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域所以f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2，即当nk1时，命题成立由知命题成立类型三归纳猜想证明例3已知数列an的前n项和为sn，其中an，且a1.(1)求a2，a3；(2)猜想数列an的通项公式，并证明解(1)a2，a1，则a2，同理求得a3.(2)由a1，a2，a3，猜想an.证明：当n1时，a1，等式成立；假设当nk(k1，kn*)时猜想成立，即ak，那么当nk1时，由题设an，得ak，ak1，所以skk(2k1)akk(2k1).sk1(k1)(2k1)ak1，ak1sk1sk(k1)(2k1)ak1，因此，k(2k3)ak1，所以ak1.所以当nk1时，命题成立由可知，命题对任何nn*都成立反思与感悟(1)“归纳猜想证明”的解题步骤(2)归纳法的作用归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想“观察猜想证明”是解答与自然数有关命题的有效途径跟踪训练3设a0，f(x)，令a11，an1f(an)，nn*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论解(1)因为a11，an1f(an)，所以a2f(a1)f(1)，a3f(a2)f()，a4f(a3)f()，猜想an(nn*)(2)易知当n1时，结论成立；假设当nk (k1，kn*)时，猜想成立，即ak.则当nk1时，ak1f(ak)，即当nk1时，猜想也成立由知，对一切nn*，都有an.1用数学归纳法证明n边形的内角和为(n2)180时，其初始值n0为_答案32已知123332433n3n13n(nab)c对一切nn*都成立，那么a，b，c的值为_答案，解析令n等于1,2,3，得解得a，bc.3用数学归纳法证明“凸n(n3，nn*)边形的内角和公式”时，由nk到nk1时增加的是_答案180解析凸n边形内角和为180(n2)，则180(k12)180(k2)180.4用数学归纳法证明“n35n能被6整除”的过程中，当nk1时，对式子(k1)35(k1)应变形为_答案(k35k)3k(k1)6解析采取配凑法，凑出归纳假设k35k来，(k1)35(k1)k33k23k15k5(k35k)3k(k1)6.5用数学归纳法证明：当n是非负整数时，34n252n1能被14整除证明当n0时，34n252n114，能被14整除假设当nk(k0，kn)时，34k252k1能被14整除，则当nk1时，34(k1)252(k1)134k652k38134k22552k125(34k252k1)5634k2.显然25(34k252k1)是14的倍数，5634k2也是14的倍数，故34k652k3是14的倍数，即当nk1时，34(k1)252(k1)1能被14整除综合知，当n是非负整数时，34n252n1能被14整除1在证明整除问题时，有些命题可能仅当n是偶数(或奇数)时成立，证明时可适当地转化k，使k成为全体自然数的形式如：证明xnyn能被xy整除，n为正奇数，证明时需将问题转化为证明x2k1y2k1能被xy整除，kn*.2几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明，探索的方法是由特殊猜想出一般结论3利用“归纳猜想证明”来研究探究性问题，一般从最特殊的情况入手，通过分析、归纳、猜想，从而达到探索一般规律的目的课时作业一、填空题1在数列an中，a11且sn，sn1,2s1成等差数列，则s2，s3，s4分别为_，猜想sn_.答案，解析s11,2sn1sn2s1，当n1时，2s2s123，s2.当n2时，2s3s22，s3.当n3时，2s4s32，s4.猜想sn.2设nn*，f(n)5n23n11，通过计算n1,2,3,4时f(n)的值，可以猜想f(n)能被数值_整除答案83在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n_.答案3解析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n3.4用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上_答案(k21)(k22)(k23)(k1)25设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32).观察上述结果，可得出的一般结论为_答案f(2n)解析由f(2)，f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，可推测出f(2n).6用数学归纳法证明33n28n9是64的倍数(nn*)时，归纳假设可以用等式表示为_答案假设nk时，命题成立，即33k28k964m(mn*，kn*)7平面内原有k条直线，它们的交点个数为f(k)，则增加一条直线后，它们的交点个数最多为_答案f(k)k解析设增加的直线为lk1，它最多与前k条直线有k个交点8在应用数学归纳法证明正n棱柱的顶点个数f(n)2n时，第一步验证n_.答案39用数学归纳法证明xnyn能被xy整除(n为正奇数)时，假设nk(k为正奇数)时，命题成立，再证n_时，命题也成立答案k210设f(n)1(nn*)，那么f(n1)f(n)_.答案二、解答题11已知f(n)(2n7)3n9(nn*)，用数学归纳法证明f(n)能被36整除证明当n1时，f(1)(27)3936，能被36整除假设当nk(kn*)时，f(k)(2k7)3k9能被36整除，则当nk1时，f(k1)2(k1)73k19(2k7)3k123k19(2k7)3k323k193(2k7)3k92723k193(2k7)3k918(3k11)由于3k11是2的倍数，故18(3k11)能被36整除，即当nk1时，f(n)也能被36整除根据和，可知对一切正整数n，都有f(n)(2n7)3n9能被36整除12设an1(nn*)，是否存在关于n的整式q(n)，使得等式a1a2a3an1q(n)(an1)对于大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论解假设q(n)存在，探索q(n)当n2时，由a1q(2)(a21)，即1q(2)(11)，得q(2)2.当n3时，由a1a2q(3)(a31)，即1(1)q(3)(11)，得q(3)3.当n4时，由a1a2a3q(4)(a41)，即1(1)(1)q(4)(11)，得q(4)4.由此猜想q(n)n(n2，nn*)下面用数学归纳法证明当n2且nn*时，等式a1a2a3an1n(an1)成立当n2时，左边a11，右边2(a21)21，结论成立假设当nk(k2，kn*)时结论成立，即a1a2a3ak1k(ak1)，则当nk1时，a1a2a3ak1akk(ak1)ak(k1)akk(k1)ak(k1)1(k1)(ak1)(k1)(ak11)，所以当nk1时结论也成立由可知，对于大于1的一切正整数n，都存在q(n)n使得等式a1a2a3an1q(n)(an1)成立13用数学归纳法证明f(n)352n123n1对任意正整数n，都能被17整除证明当n1时，f(1)353241723，能被17整除，命题成立假设当nk(k1，kn*)时，f(k)352k123k1能被17整除则当nk1时，f(k1)352k323k452352k12323k125352k1823k117352k18(352k123k1)17352k18f(k)由归纳假设，f(k)能被17整数，17352k1也能被17整除，所以f(k1)能被17整除由和可知，对任意nn*，f(n)都能被17整除三、探究与拓展14用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nn*)能被9整除”，要利用归纳假设证明当nk1时的情况，只需展开_答案(k3)3解析假设当nk时，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可15已知数列an的前n项和为sn，且