苏教版选修23 1.4 计数应用题 学案.docx

学习目标1.进一步理解计数原理和排列、组合的概念.2.能够运用原理和公式解决简单的计数应用问题知识点一排列与组合数公式1排列数公式：an(n1)(n2)(nm1)来源:*中国教育出版网%2组合数公式：c.知识点二计数应用题解计数应用题，要按照元素的性质进行分类，按事情发生的过程进行分步；对排列组合的混和问题，一般可采用“先选后排”的思路思考间接法求排列组合问题的基本思路是什么？答先不考虑限制条件，求出排列组合数，再减去不符合条件的或重复的题型一排列与组合的简单应用例1(1)5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每盒至多放1个球，共有多少种放法？(2)某项化学实验，要把2种甲类物质和3种乙类物质按照先放甲类物质后放乙类物质的顺序，依次放入某种液体中，观察反应结果现有符合条件的3种甲类物质和5种乙类物质可供使用问：这个实验一共要进行多少次，才能得到所有的实验结果？解(1)由于球都相同，盒子不同，每盒至多放一个球，所以，只要选出5个不同的盒子，就可以解决问题这是一个组合问题来%源:中教网#*因此，5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每盒至多放一个球，共有c56种选法(2)第一步：放入甲类物质，共有a种方案第二步：放入乙类物质，共有a种方案根据分步计数原理，共有aa32543360种方案www%.zzst*e#因此，共要进行360次实验，才能得到所有的实验结果来源:中国教育出版%网*#反思与感悟(1)解简单的排列、组合应用题时，首先要判断它是排列还是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关来源&#:(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏跟踪训练1(1)5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每盒至多放一个球，共有_种放法答案6 720解析由于球与盒子均不同，每盒至多放一个球，所以这是一个排列问题可直接从8个不同的盒子中取出5个盒子进行排列(即放球)，所以，共有a876546 720种放法(2)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动若每天安排3人，则不同的安排方案共有_种答案140解析cc140.来源%:中国教育出版#*网题型二有限制条件的排列、组合问题例2将5个不同的元素a，b，c，d，e排成一排(1)a，e必须排在首位或末位，有多少种排法？(2)a，e既不在首位也不在末位，有多少种排法？(3)a不排在首位，e不排在末位，有多少种排法？解(1)按首位是a还是e分类计数第一类：a排在首位，那么e必须排在末位，中间三位是把b，c，d进行排列，一共有a3216种排法第二类：e排在首位，那么a必须排在末位，中间三位是把b，c，d进行排列，一共有a3216种排法根据分类计数原理，a，e必须排在首位或末位，一共有6612种排法(2)按照先排首位和末位，再排中间三位分步计数第一步：排出首位和末位由于a，e既不在首位也不在末位，那么首位和末位是在b，c，d中选出两个进行排列，一共有a326种排法第二步：排出中间三位由于在a，b，c，d，e 5个元素中，已经有2个元素排在了首位和末位，因此，中间三位是把剩下的3个元素进行排列，一共有a3216种排法根据分步计数原理，a，e既不在首位也不在末位，一共有6636种排法(3)按照a是否排在末位分类计数第一类：a排在末位，此时e不排在末位，故一共有a432124种排法第二类：a不排在末位，此时可按照先排a，再排e，最后排b，c，d分步计数：第一步：a排在中间，有a3种排法第二步：e排在除末位及a所占位置外的其余位置，有a3种排法第三步：b，c，d排在其余位置，有a3216种排法根据分步计数原理，第二类有33654种排法最后，根据分类计数原理，a不排在首位，e不排在末位，一共有245478种排法反思与感悟排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏在用间接法计数时，要注意考虑全面，排除干净跟踪训练2(1)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是_答案126解析按从事司机工作的人数进行分类：有1人从事司机工作：cca(或ccca)108(种)；有2人从事司机工作：ca18(种)不同安排方案的种数是10818126.中国教#育出*版网%(2)3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有_种答案540解析第一步：将3名医生按每校1名，分配到三所学校有a种分配方法；第二步：将6名护士每校2名分配到三所学校有ccc种分配方法；由分步计数原理，不同的分配方法，共有accc540(种)例3用0,1,2，9这10个数字(1)可以组成多少个5位数？(2)可以组成多少个没有重复数字的5位数？(3)可以组成多少个没有重复数字且能够被5整除的5位数？解(1)第一步：首位数字可以在19这9个数字中选取，有9种可能第二步：其他4个数位可以在09这10个数字中选取，有10101010104种可能最后，根据分步计数原理，用0,1,2，9这10个数字，一共可以组成910490 000个5位数(2)采用分步计数的方法，先确定首位数字再确定其他数位第一步：首位数字，可以在19这9个数字中选择，有9种可能第二步：其他4个数位，可以在剩下的9个数字中选择，有a种可能根据分步计数原理，用0,1,2，9这10个数字，一共可以组成9a27 216个没有重复数字的5位数(3)能够被5整除的数，末位有且仅有0或5两种可能，分两类进行计数第一类：末位是0，由于没有重复数字，所以其他4个数位共有a种可能第二类：末位是5，对其他4个数位进行分步计数：第一步：由于首位不能为0，首位有c种选择第二步：其他3个数位有a种可能所以，共有aca5 712(种)因此，用0,1,2，9这10个数字，一共可以组成5 712个没有重复数字且能够被5整除的5位数来源#:%中教&网反思与感悟解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理解决该类问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置，若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时，应分类讨论跟踪训练3用0到9这10个数字，(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位数中，奇数有多少个？(2)可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数？解(1)可以组成9a4 536个四位数适合题意的四位奇数共有aaa2 240(个)来&源:中教*#网(2)0到9这10个数字构成的三位数共有900个，分为三类：第1类：三位数字全相同，如111,222，999，共9个；第2类：三位数字全不同，共有998648(个)，来源:zzst%ep.c&*om第3类：由间接法可求出，只含有2个相同数字的三位数，共有9009648243(个).来源*:中国&教#育出版网1从3名女同学和2名男同学中任选1人主持本班的某次专题班会，则不同的选法种数为_答案5解析由题意可得不同的选法种数为c5.2从正方体的六个面中选3个面，其中两个面不相邻的选法共有_种答案12解析从6个面中任选3个面，有c种不同的选法，其中相交于一个顶点处的3个面不合题意，故共有cc12(种)3某文工团有8名歌舞演员，其中6人会表演舞蹈，有5个人会表演唱歌，今从这8个人中选出2人，一个表演唱歌，一个表演舞蹈，则不同的选法种数有_种答案27解析方法一(直接法)由已知其中有3人只会舞蹈，2人只会唱歌，3人既会唱歌又会跳舞，故选法有cccccca27(种)方法二(间接法)cc327(种)4某地区进行换界选举，要从甲、乙、丙、丁4人中选3人担任三种不同的职务，规定上界任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的结果有_种(用数字作答)来*源:%zzstep&.com答案11解析4人中甲、乙、丙都选上时，3人中任意1人担任自己除上届职务外的一种职务有c种方法，其余两人只能有一种任职方法甲、乙、丙三人中选2人时，有c种选法，丁任三个职务中任一个均有c种，其余两人只能有一种选择故可知共有ccc11(种)中国&教育#出*版网5.定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数.若m4，则不同的“规范01数列”共有_个.答案14解析第一位为0，最后一位为1，中间3个0，3个1，三个1在一起时为000111，001110；只有2个1相邻时，共a种，其中110100；110010；110001，101100不符合题意，三个1都不在一起时有c种，共28414.排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途