人教B版选修23 二项式定理 学案.doc

二项式定理一、必记知识1、二项式定理二项式定理：公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的 二项 展开式2、二项式系数及系数（1）二项式系数：二项展开式中的叫做第r+ l项 的二项式系数、二项式系数一定是正整数（2）系数：二项展开式中的每一项中除了 字母 以外的都是这一项的系数、可正也可负3、二项展开式的通项二项展开式的通项：二项展开式的通项用表示，即通项为展开式的第r+ l项，且4、二项式系数的性质 （1）对称性：在二项展开式中，与首末两端“ 等距离 ”的两项的二项式系数相等，即，（2）增减性与最大值：在二项展开式中，前半部分二项式系数是逐渐增大的，而后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值当n是偶数时，中间的取得最大值，当n是奇数时，中间的，相等且同时取得最大值 （3）各二项式系数的和： ，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和 相等 ，都等于 5、二项展开式中有关系数问题的处理方法常用 赋值法 二、考点详解考点1：二项式定理及其通项二项式展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同概念 1.的展开式中常数项为a. b. c. d.105解：通项为，令，故2.在 的展开式中，的系数为 .3.若展开式的常数项为60，则常数的值为 .解：因为,所以r=2, 常数项为60,解得.4.（15湖南）已知的展开式中含的系数为30，则（ ） 6 -65.的展开式中，的系数是_ _ (用数字作答).6.的展开式的常数项是（ ） 解：第一个因式取，第二个因式取 得：，第一个因式取，第二个因式取得： 展开式的常数项是7已知的展开式中的系数为5,则（）a b c d8、设，若的展开式中x的系数为13，则x2的系数为 由已知，cm12+cn13=13，即2m+3n=13其正整数解为m=2，n=3或m=5，n=1（不合题意，舍去）x2的系数为c2222+c3332=319设(x1)21a0a1xa2x2a21x21，则a10a11_.解：tr1cx21r(1)r(1)rcx21r 由题意知a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10c，a11c， a10a11cc0.10.若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为 。解：因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即，所以，所以展开式的通项为，令，解得，所以，所以系数为.11、若展开式中第32项与第72项的系数相同，那么展开式的中间一项的系数为 d（a） （b） （c） （d）12. 在的展开式中，的系数为 7 (用数字作答)解：展开式中项的系数分别是，即所求系数是13. 的展开式中的常数项为_.解：的展开式的通项为，当r=3时，当r=4时，因此常数项为-20+15=-514.（15新课标2）的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则_解：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，其系数之和为，解得15.（15年新课标1理科）的展开式中，的系数为（a）10 （b）20 （c）30（d）60【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 a.16、已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（ ）(a)-1 (b)1 (c)-45 (d)45解：依题可得：化简解得n=10 n=-5（舍）通项tr+1=令20-r=0 r=8 常数项为t9=c（-1）8=45.17.已知，那么a1= . 18的展开式中，x2的系数等于_解析：x2的系数是四个二项展开式中4个含x2的系数和，则有c(1)0c(1)1c(1)2c(1)3(cccc)20.19若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.解：将f(x)x5进行转化，利用二项式定理求解f(x)x5(1x1)5，它的通项为tr1c(1x)5r(1)r，t3c(1x)3(1)210(1x)3，a310.20.【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则 .【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式，令得：，解得21.【2017课标3，理4】的展开式中33的系数为a b c40d8022.【2017课标1，理6】展开式中的系数为a15b20c30d35试题分析：因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选c.23.【2017浙江，13】已知多项式32=，则=_，=_考点2：求有理项或系数最大的项解决此类问题仍然运用通项公式，但要明白什么是有理项，明确系数与二项式系数的不同1、的展开式中二项式系数最大的是第 5 项； 的展开式中二项式系数最大的是第 5，6 项2设为正整数,展开式的二项式系数的最大值为,展开式的二项式系数的最大值为,若,则（）a5 b6 c7 d8解：由题知=，=，13=7，即=，得=6.3、使得展开式中含有常数项的最小的为（）a b c d 4、如果在（+）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.解：展开式中前三项的系数分别为1，由题意得2=1+，得n=8.设第r+1项为有理项，t=cx，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.有理项为t1=x4，t5=x，t9=.5、已知在的展开式中，第6项为常数项(1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项解 通项公式为tr1cx(3)rx(3)rcx.(1)第6项为常数项，r5时，有0，解得n10.(2)令2，得r(n6)2，x2的项的系数为c(3)2405.(3)由题意知令k(kz)，则102r3k，即r5k，rz，k应为偶数，k2,0，2，即r2,5,8.第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x2，61 236,295 245x2.6在的展开式中，的幂的指数是整数的项共有a3项 b4项 c5项 d6项解：，当r0，3，6，9，12，15，18，21，24时，x的指数分别是24，20，16，12，8，4，0，4，8，其中16，8，4，0，8均为2的整数次幂，故选c；7、的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（a）0（b）2（c）4（d）6解：通项为，因此含x的正整数次幂的项共有2项.选b；8、求(1x)10的展开式中的常数项解：(1x)10(1x)10c(1x)10c(1x)9c(1x)8c(1x)7c(1x)6c，从第五项c(1x)6起，后面各项不再出现常数项，前四项的常数项分别是cc，cc，cc，cc.故原二项展开式中常数项为 cccccccc4 351.点评：多项式乘法的进位规则。在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令.要注意项的系数和二项式系数的区别。9.若的展开式中含有常数项,则n的最小值等于 .10.已知展开式中偶数项二项式系数和比展开式中奇数项二项式系数和小120，求：（1）展开式中第三项的系数;（2）展开式的中间项。考点3：求二项展开式的系数和求系教和的间题，一般采用“赋值法”。二项式定理给出的是一个恒等式，对a，b赋予一些特定的值，是解决二项式问题的一种重要思想方法赋值法是从函数的角度来应用二项式定理，即函数f(a，b)(ab)ncancan1bcanrbrcbn.对a，b赋予一定的值，就能得到一个等式，然后根据需要求得结果1已知，那么() a2 b2 c1 d1解：取x1得(12)7a0a1a2a71.又a01，a1a2a72，故选b.2、设的展开式的各项系数之和为256，则展开式中二项式系数最大的项是（ ） a第8项 b第5项 c第4项和第5项 d第3项令x1，得，n=43若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为( )a9 b8 c7 d6解： 令x1，则a0a1a2a3a40 令x1，则a0a1a2a3a416，a0a2a48.4、二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和解 设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1) 二项式系数之和为cccc29.(2) 各项系数之和为a0a1a2a9(23)91(3) 由(2)知a0a1a2a91， 令x1，y1，得a0a1a2a959，将两式相加，得a0a2a4a6a8，即为所有奇数项系数之和5、已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解 令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0c1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71 094.(3)()2，得a0a2a4a61 093.(4)(12x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.6. 展开式中不含项的系数的和为（ ）a.-1 b.0 c.1 d.2解：令x=1得：系数和为1，减去项系数即为所求，答案为0.7.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（a）-40 （b）-20 （c）20 （d）408、的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）（a）540 （b）162 （c）162 （d）540解：令x=1，得2n=64，得n=6.设常数项为tr+1= cr6（3）6-r（-）r=cr