人教B版选修41 1.1.4　锐角三角函数与射影定理 学案.doc

11.4锐角三角函数与射影定理对应学生用书p12读教材填要点1锐角三角函数的定义含有相等锐角的所有直角三角形都相似，锐角三角函数(或三角比)为：sin，cos，tan.2射影定理(1)定理的内容：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项(2)符号语言表示：如图若cd是rtabc的斜边ab上的高，则：ac2adabbc2bdabcd2adbd小问题大思维1线段的正射影还是线段吗？提示：不一定当该线段所在的直线与已知直线垂直时，线段的正射影为一个点2如何用勾股定理证明射影定理？提示：如图，在rtabc中，ab2ac2bc2，(addb)2ac2bc2，ad22addbdb2ac2bc2，即2addbac2ad2bc2db2.ac2ad2cd2，bc2db2cd2，2addb2cd2，即cd2addb.在rtacd中，ac2ad2cd2ad2addbad(addb)adab，即ac2adab.在rtbcd中，bc2cd2bd2addbbd2bd(addb)bdab，即bc2bdab.对应学生用书p13利用射影定理解决求值问题例1如图，在rtabc中，acb90，cd是ab边上的高，已知bd4，ab29，试求bc，ac和cd的长度思路点拨本题考查射影定理与勾股定理的应用解答本题可由已知条件先求出ad，然后利用射影定理求bc，ac和cd的长度精解详析bd4，ab29，ad25.由射影定理得cd2adbd254100，cd10.bc2bdba429.bc2.ac2adab2529，ac5.运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理1在rtacb中，c90，cdab于d，若bdad19，则tanbcd_.解析：由射影定理得cd2adbd，又bdad19，令bdx，则ad9x(x0)cd29x2，cd3x.rtcdb中，tanbcd.答案：利用射影定理解决证明问题例2如图所示，在abc中，cab90，adbc于d，be是abc的平分线，交ad于f.求证：.思路点拨本题考查射影定理的应用，利用三角形的内角平分线定理及射影定理可证得精解详析由三角形的内角平分线定理得，在abd中，在abc中，在rtabc中，由射影定理知，ab2bdbc，即.由得：，由得：.将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类问题时，一定要注意对图形进行剖析2如图，ad、be是abc的高，dfab于f，交be于g，fd的延长线交ac的延长线于h，求证：df2fgfh.证明：beac，abebae90.同理，hhaf90abeh.又bfghfa，bfghfa.bfhffgaf.bfaffgfh.rtadb中，df2bfaf，df2fgfh.对应学生用书p14一、选择题1如图所示，在rtabc中，acb90，cdab于点d，cd2，bd3，则ac等于()a.b.c. d解析：由射影定理知，cd2bdad，ad.abadbd.ac2adab.ac.答案：c2如图所示，在abc中，acb90，cdab，d为垂足，若cd6 cm，addb12，则ad的值是()a6 cm b3 cmc18 cm d3 cm解析：addb12，可设adt，db2t.又cd2addb，36t2t，2t236，t3(cm)，即ad3 cm.答案：b3在rtabc中，bac90，adbc于点d，若，则()a. bc. d解析：如图，由射影定理，得ac2cdbc，ab2bdbc.2.即.答案：c4在abc中，acb90，cdab于d，adbd23，则acd与cbd周长的相似比为()a23 b49c.3 d不确定解析：如图，在rtacb中，cdab，由射影定理得，cd2adbd，即.又adcbdc90，acdcbd.又adbd23，令ad2x，bd3x(x0)，cd26x2.cdx.acd与cbd周长的相似比为，即相似比为3.答案：c二、填空题5如果两条直角边在斜边上的射影分别是4和16，则此直角三角形的面积是_解析：由题意知，直角三角形斜边长为20，根据射影定理知，斜边上的高为8，所以直角三角形的面积为20880.答案：806已知：在abc中，acb90，cd是ab边上的高，bc cm，bd3 cm，则ad的长是_解析：bc2bdab，153ab，ab5(cm)adabbd532(cm)答案：2 cm7如图，在直角梯形abcd中，dcab，cbab，abada，cd，点e，f分别为线段ab，ad的中点，则ef_.解析：连接de，可知aed为直角三角形，则ef是rtdea斜边上的中线，其长等于斜边长的一半，为.答案：8已知在梯形abcd中，dcab，d90，acbc，ab10 cm，ac6 cm，则此梯形的面积为_解析：如图，过c作ceab于e.在rtacb中，ab10 cm，ac6 cm，ac2aeab，ae3.6 cm，beabae6.4 cm.又ce2aebe，ce4.8(cm)又在梯形abcd中，ceab，dcae3.6 cm.s梯形abcd32.64(cm2)答案：32.64 cm2三、解答题9已知cab90，adcb，ace，abf是正三角形，求证：dedf.证明：如图，在rtbac中，ac2cdcb，ab2bdbc，.acae，abbf，即.又fbd60abd，ead60cad，abdcad，fbdead.eadfbd.bdfade.fdefdaadefdabdf90.dedf.10如图，在rtabc中，bac90，adbc于d，dfac于f，deab于e，试证明：(1)abacbcad；(2)ad3bccfbe.证明：(1)rtabc中，adbc，sabcabacbcad.abacbcad.(2)rtadb中，deab，由射影定理可得bd2beab，同理cd2cfac，bd2cd2beabcfac.又rtbac中，adbc，ad2bddc，ad4beabcfac.又abacbcad，即ad3bccfbe.11如图所示，cd为rtabc斜边ab边上的中线，cecd，ce，连接de交bc于点f，ac4，bc3.求证：(1)abcedc；(2)dfef.证明：(1)在rtabc中，ac4，bc3，则