人教B版选修45 证明不等式的基本方法二综合法与分析法 学案.doc

二 综合法与分析法1综合法(1)定义从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法综合法又叫顺推证法或由因导果法(2)证明的框图表示用p表示已知条件或已有的不等式，用q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为2分析法(1)定义证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法分析法又叫逆推法或执果索因法(2)证明过程的框图表示用q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为用综合法证明不等式已知x0，y0，且xy1，求证：9.可将所证不等式左边展开，运用已知和基本不等式可得证，也可以用xy取代“1”，化简左边，然后再用基本不等式法一：x0，y0，1xy2.xy.111189.当且仅当xy时，等号成立法二：xy1，x0，y0，525229.当且仅当xy时， 等号成立综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键1已知a，b，cr，证明不明式：abc，当且仅当abc时，等号成立证明：因为a0，b0，c0，故有ab2，当且仅当ab时，等号成立；bc2，当且仅当bc时，等号成立；ca2，当且仅当ca时，等号成立三式相加，得abc.当且仅当abc时，等号成立2已知a，b，c都是实数，求证：a2b2c2(abc)2abbcca.证明：a，b，cr，a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.将以上三个不等式相加，得2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca.在不等式的两边同时加上“a2b2c2”，得3(a2b2c2)(abc)2，即a2b2c2(abc)2.在不等式的两端同时加上2(abbcca)，得(abc)23(abbcca)，即(abc)2abbcca.由，得a2b2c2(abc)2abbcca.用分析法证明不等式已知x0，y0，求证：(x2y2)(x3y3).不等式两边是根式，可等价变形后再证明分析每一步成立的充分条件要证明(x2y2)(x3y3)，只需证(x2y2)3(x3y3)2，即证x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6，即证3x4y23x2y42x3y3.x0，y0，x2y20.即证3x23y22xy.3x23y2x2y22xy，3x23y22xy成立(x2y2)(x3y3).(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法 寻找证明途径(2)分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆3求证：0,20，要证 2，只需证明()2(2)2.展开，得10220.即证210，即证2125(显然成立)ab.求证：cac. 证明：要证cac，只需证ac，即证|ac|，两边平方，得a22acc2c2ab，也即证a2ab2ac，即a(ab)2ac.a，br，且ab2c，a(ab)0，b0，且ab1，求证：.所证不等式含有开方运算且两边都为正数，可考虑两边平方，用分析法转化为一个不含开方运算的不等式，再用综合法证明要证，只需证()26，即证(ab)226.由ab1，得只需证 ，即证ab.由a0，b0，ab1，得ab2，即ab成立原不等式成立(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系5已知a，b，c都是正数，求证：23.证明：法一：要证23，只需证ab2abc3，即2c3.移项，得c23.由a，b，c为正数，得c2c3成立原不等式成立法二：a，b，c是正数，c33.即c23.故2c3.ab2abc3.23.6已知a0，b0，nn*，求证：.证明：先证，只要证2(an1bn1)(ab)(anbn)，即要证an1bn1anbabn0，即要证(ab)(anbn)0.若ab，则ab0，anbn0，所以(ab)(anbn)0；若ab，则ab0，anbn0，综上所述，(ab)(anbn)0.从而.因为a0，b0，所以，所以.课时跟踪检测(七) 1设a，br，a，b，则a，b的大小关系是()aab bab cab dab解析：选ca2()2a2b，b2ab，所以a2b2.又a0，b0，ab.2a，br，那么下列不等式中不正确的是()a.2 b.abc. d.解析：选ca项满足基本不等式；b项可等价变形为(ab)2(ab)0，正确；b选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以c选项不正确；d选项是a选项中不等式的两端同除以ab得到的，正确3设a，b，c，那么a，b，c的大小关系是()aabc bacb cbac dbca解析：选b由已知，可得出a，b，c，2，bca.4设ba1，则()aaaabba baabaab cabaaba dabbaaa解析：选cba1，0ab1，abaa，a.00，a1，aaba，abaa0，b0，若p是a，b的等差中项，q是a，b的正的等比中项，是，的等差中项，则p，q，r按从大到小的顺序排列为_解析：p，q，rqp，当且仅当ab时，等号成立答案：pqr7设abc，且恒成立，则m的取值范围是_解析：abc，ab0，bc0，ac0.又(ac)224，当且仅当abbc时，等号成立，m(，4答案：(，48已知a，b，c均为正实数，且b2ac.求证：a4b4c4(a2b2c2)2.证明：要证a4b4c4(a2b2c2)2成立，只需证a4b4c4a4b4c42a2b22a2c22b2c2，即证a2b2b2c2a2c20.b2ac，故只需证(a2c2)aca2c20.a0，c0，故只需证a2c2ac0.又a2c22acac，a2c2ac0显然成立，原不等式成立9已知a0，b0，c0，且a，b，c不全相等，求证：abc.证明：因为a，b，c(0，)，所以22c.同理2a，2b.因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中至少有一个等号不成立，三式相加，得22(abc