人教B版选修45 证明不等式的基本方法三反证法与放缩法 学案.doc

三 反证法与放缩法1不等式的证明方法反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，然后由此假设出发，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立(2)反证法证明不等式的一般步骤：假设命题不成立；依据假设推理论证；推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立2不等式的证明方法放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的(2)放缩法的理论依据主要有：不等式的传递性；等量加不等量为不等量；同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较利用反证法证明不等式已知f(x)x2pxq，求证：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.“不小于”的反面是“小于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则|f(1)|2|f(2)|f(3)|2.而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)2矛盾，|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用1实数a，b，c不全为0的等价条件为()aa，b，c均不为0ba，b，c中至多有一个为0ca，b，c中至少有一个为0da，b，c中至少有一个不为0解析：选d“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”2证明：三个互不相等的正数a，b，c成等差数列，则a，b，c不可能成等比数列证明：假设a，b，c成等比数列，则b2ac.又a，b，c成等差数列，abd，cbd(其中d为公差)acb2(bd)(bd)b2b2d2.d20，d0.这与已知中a，b，c互不相等矛盾假设不成立a，b，c不可能成等比数列3已知函数yf(x)在r上是增函数，且f(a)f(b)f(b)f(a)，求证：ab.证明：假设ab.当ab时，ab，则有f(a)f(b)，f(a)f(b)，于是f(a)f(b)f(b)f(a)，与已知矛盾当ab时，af(b)，f(b)f(a)，于是有f(a)f(b)f(b)f(a)，与已知矛盾故假设不成立a(xyz)解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明 x.同理可得：y，z，由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得(xyz)(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当的放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的4设n是正整数，求证：1.证明：由2nnkn(k1,2，n)，得.当k1时，当k2时，当kn时，.将以上n个不等式相加，得1.5设f(x)x2x13，a，b，求证：|f(a)f(b)|ab|.证明：|f(a)f(b)|a2ab2b|(ab)(ab1)|ab|ab1|.0a1,0b1，0ab2，1ab11，|ab1|1.|f(a)f(b)|ab|.课时跟踪检测(八)1设a，b，cr，pabc，qbca，rcab，则“pqr0”是“p，q，r同时大于零”的()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选c必要性是显然成立的；当pqr0时，若p，q，r不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设p0，q0，r0，则qr2c0，这与c0矛盾，即充分性也成立2若|ac|h，|bc|h，则下列不等式一定成立的是()a|ab|2hc|ab|h解析：选a|ab|(ac)(bc)|ac|bc|0，y0，xy222(1)4对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与ab与a1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数证明：假设a，b，c，d都是非负数由abcd1知a，b，c，d从而ac，bd，acbd1，即acbd1，与已知acbd1矛盾，a，b，c，d中至少有一个是负数9已知an(nn*)求证：ann，an123n.，an(123n).综上得an.10已知f(x)ax2bxc，若ac0，f(x)在上的最大值为2，最小值为.求证：a0且2.证明：假设a0或2.当a0时，由ac0，得f(x)bx，显然b0.由题意得f(x)bx在上是单调函数，所以f(x)的最大值为|b|，最小值为|b|.由已知条件得|b|(|b|)2，这与|b|(|b|)0相矛盾，所以a0.当2时，由二次函数的对称轴为x，知f(x)在上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得 .所以或又ac0，则此时b无解，所以2.由，得a0且2.本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年的高考试题 看，不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中档题在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明如果已知条件与待证结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”“恒成立”等方式给出，可考虑用反证法在必要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明真题体验1(全国甲卷)已知函数f(x)，m为不等式f(x)2的解集(1)求m；(2)证明：当a，bm时，|ab|1ab|.(1)解：f(x)当x时，由f(x)2得2x1；当x时，f(x)2恒成立；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集mx|1x1(2)证明：由(1)知，当a，bm时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|cd，则；(2)是|ab|cd，得()2()2.因此.(2)必要性：若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)，得.充分性：若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|cd|的充要条件比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件作差比较法证明的一般步骤是：作差；恒等变形；判断结果的符号；下结论其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法已知b，m1，m2都是正数，ab，m1m2，求证：0，m1，m20，所以(bm1)(bm2)0.又ab，所以ab0.因为m10.从而(ab)(m2m1)0.于是0.所以0，b0，ab1.求证：8.a0，b0，ab1.1ab2，.4.(ab)2248.8.分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发， 逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法一般 说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用已知ab0.求证：. 要证，只需证，只需证()2()2，只需证aabb2，只需证0b0，上式显然成立，原不等式成立，即90，d是bc的中点求证：adbc，因为bddcbc，所以在abd中，adbd，从而bbad.同理ccad.所以bcbadcad.即bca.因为bc180a，所以180aa，即a90，与已知矛盾故adbc不成立由知adbc成立.放缩法证明不等式放缩法是