人教B版选修44 2.4 一些常见曲线的参数方程 学案.docx

2.4一些常见曲线的参数方程1.一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点m的轨迹称为摆线.2.半径为a的圆在x轴上滚动，开始时定点m在原点o处，取圆滚动时转过的角度t(以弧度为单位)为参数，摆线的参数方程为.3.把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切，绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线.固定的圆称为渐开线的基圆.4.基圆的半径为a，以圆心为原点o，绳拉直时和圆的切点为a，记和x轴正向所成的角为t(以弧度为单位)，则圆的渐开线的参数方程为.【思维导图】【知能要点】1.摆线，摆线的参数方程.2.圆的渐开线，渐开线的参数方程.知识点1摆线在分析摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解“一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假设半径为r的圆周上定点m的起始位置是圆与定直线的切点o，圆保持与定直线相切向右滚动，点m就绕圆心b作圆周运动.如果点m绕圆心b转过t弧度后，圆与直线相切于a，那么线段oa的长等于的弧长，即oart；点m绕圆心b运动一周回到切点的位置e，那么oe的长恰等于圆周长.这就是所谓“无滑动地滚动”的意思.从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过程中，圆周上定点m的位置可以有圆心角t唯一确定，因此以t为参数是非常自然的.【例1】 已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的参数方程.解：根据圆的摆线的参数方程的表达式 (t为参数)可知，只需求出其中的a，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出a值，再代入参数方程的表达式.令a(1cos t)0可得cos t1，所以t2k (kz)代入可得xa(2ksin 2k)1.所以a.又根据实际情况可知a是圆的半径，故a0.所以，应有k0且kz，即kn*.所以，所求摆线的参数方程是 (t为参数其中kn*).【反思感悟】 本题易错点是误把点(1，0)中的1或0当成t的值，代入参数方程中求出x和y的值，再计算a的值；或者在求出cos t1时，直接得出t0，从而导致答案不全面.1.有一个半径为2的轮子沿着直线轨道滚动，在轮子一面上有一点m与轮子中心的距离为1，求点m的轨迹方程.解：设轮子的圆心为b，bm的延长线与直线轨道垂直时的一个垂足o为原点，直线轨道为x轴的正方向，建立直角坐标系.设圆滚动使点m绕圆心b转过角后点m的坐标为(x，y)，则xodoadaoamc2sin ，ydmacabcb2cos ，所以，点m的轨迹方程为知识点2圆的渐开线渐开线要从其生成过程理解其简单性质，体会渐开线上动点所满足的几何条件，建立渐开线参数方程的关键是将“切线bm的长就是的长”用坐标表示出来.渐开线的参数方程不能化为普通方程.【例2】 给出某渐开线的参数方程 (t为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是_，且当参数t取时对应的曲线上的点的坐标是_.答案：3解析：根据一般情况下基圆半径为a的渐开线的参数方程 (t为参数)进行对照可知，这里的a3，即基圆半径是3.然后把t分别代入x和y，可得即得对应的点的坐标.【反思感悟】 对渐开线的参数方程要理解其中字母的含义，a是基圆的半径，t是参数.2.写出半径为2的基圆的渐开线参数方程.解：直接利用圆的渐开线的参数方程公式，方程为： (t是参数).【例3】 已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点a，b对应的参数分别是和，求a，b两点的距离.解：根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是 (t为参数)，分别把t和t代入，可得a，b两点的坐标分别为a，b.那么，根据两点之间的距离公式可得a，b两点的距离为|ab| .即点a，b之间的距离为 .【反思感悟】 对于参数方程给出的曲线上点，可以求出点的坐标，转化为两点间的距离问题.3.已知圆的渐开线的参数方程是(t为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是_，当参数t时对应的曲线上的点的坐标为_.答案：2解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当t时对应的坐标只需把t代入曲线的参数方程，x，y，由此可得对应的坐标为.课堂小结1.对圆的渐开线和摆线，要理解它们产生的过程，理解参数方程中的字母的意义.2.对于渐开线、摆线上点的问题，求出坐标后利用前面解析几何的方法求解即可.随堂演练1.若某圆的渐开线方程为 (为参数)，则此圆的方程是_，对应的0的点的坐标是_，对应的的点的坐标是_.答案：x2y24(2，0)(，2)2.曲线(是参数)的形状为()a.第一、三象限的平分线b.以原点为圆心，|a|为半径的圆c.以(a，a)，(a，a)为端点的线段d.以(a，a)，(a，a)为端点的线段答案：d解析：xy0，yx.但是xa(cos sin)aasin，|a|x|a|，对应的曲线为yx(|a|x|a|)，亦即是以第一、三象限角平分线上的点(a，a)，(a，a)为端点的一段线段.3.有一个半径是2a的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点m，与轮子中心的距离是a，求点m的轨迹方程.解：如图：b点坐标为(2a，2a)，(asin ，acos )，设(x，y)，(2a，2a)(asin ，acos )(2aasin ，2aacos )，基础达标1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是()a.只有圆才有渐开线b.渐开线和摆线 的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形c.正方形也可以有渐开线d.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同答案：c解析：不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同.对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.2.已知一个圆的参数方程为 (t为参数)，那么圆的摆线方程中与参数t对应的点a与点b之间的距离为()a.1 b. c. d. 答案：c解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为 (t为参数)，把t代入参数方程中可得即a，|ab| .3.直线(t为参数)的倾斜角是()a.20 b.70 c.110 d.160答案：c解析：由于kcot 20tan 70tan 110，直线的倾斜角为110.4.曲线(t为参数)的焦点坐标为_.答案：(0，1)解析：将参数方程化为普通方程(y1)24(x1)，焦点坐标为(0，1).5.若x2y24，则xy的最大值是_.答案：2解析：x2y24的参数方程为(为参数)，xy2cos 2sin 2cos，最大值为2.6.求摆线 (0t2)与直线y2交点的直角坐标.解：当y2时，有2(1cos t)2，cos t0.又0t2，t或t.当t时，x2，y2；当t时，x32，y2.摆线与直线y2的交点为(2，2)，(32，2).综合提高7.圆的渐开线上与t对应的点直角坐标为()a. b.c. d.答案：a解析：当t时，x1，y1.8.如图所示，abcd是边长为1的正方形，曲线aefgh叫做“正方形的渐开线”，其中ae，ef，fg，gh的圆心依次按b，c，d，a循环，它们依次相连接，则曲线aefgh长是()a.3 b.4c.5 d.6答案：c解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2.所以曲线aefgh的长是5.9.渐开线 (t为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为_.答案：(6，0)和(6，0)解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径a6，其方程为x2y236，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为y236，整理可得1，这是一个焦点在x轴上的椭圆.c6，故焦点坐标为(6，0)和(6，0).10.我们知道关于直线yx对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线 (t为参数)关于直线yx对称的曲线的参数方程为_.答案： (t为参数)解析：关于直线yx对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换.所以要写出摆线方程关于直线yx的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换.11.已知圆c的参数方程是 (为参数)和直线l对应的普通方程是xy60.(1)如果把圆心平移到原点o，请问平移后圆和直线有什么关系？(2)写出平移后圆的摆线方程；(3)求摆线和x轴的交点.解：(1)圆c平移后圆心为o(0，0)，它到直线xy60的距离为d6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是(t为参数).(3)令y0，得66cos t0cos t1，所以t2k(kz).代入x6t6sin