人教B版选修45 反证法与放缩法 达标训练.doc

2.3 反证法与放缩法更上一层楼基础巩固1.设a3+b3=2，求证a+b2.思路分析：待证不等式中有小于等于号，不妨试用反证法，在假设a2-b的情况下，结合a3+b3=2，构造完全平方式，出现矛盾不等式，问题得证.证明：假设a+b2，则有a2-b，从而a38-12b+6b2-b3,a3+b36b2-12b+8=6(b-1)2+2.因为6(b-1)2+22，所以a3+b32，这与题设条件a3+b3=2矛盾，所以，原不等式a+b2成立.2.求证：(nn*且n2).思路分析：待证不等式的两端是整式，中间是n个式子的和，利用式子对每一个式子作适当的变形，最后各式相加，达到适当放大或缩小的目的，宜用放缩法.证明：,分别令k=2,3,4,n得：.将这些不等式相加得：,.3.求证：1+3.思路分析：左边较为复杂，右边为一常数，考虑对一般项进行放缩,再利用等比数列的求和公式，达到证明目的.证明：由（k是大于2的自然数），得3.4.设a,b为不相等的两个正数，且a3-b3=a2-b2,求证：1a+b1，化简整理可得,(a+b)2=a2+2ab+b2=a+b+aba2+ab+b2=a+b,故a+b1，又(a+b)24ab，而(a+b)2=a2+2ab+b2=a+b+aba+b+,即(a+b)2a+b,a+b.综合上述可得：1a+b0,3b-c-ab+c+c-c-a=b+c-a0.左式-右式=(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2(c-a)2+(a-b)2(a-b)2+(a-b)2=(a-b)20.6.设a、b、cr+,且abc=1,求证：1.思路分析：考虑a、b、cr+,且abc=1,直接通分不容易证明，构造a=x3,b=y3,c=z3,且x、y、zr+，得：xyz=1，1+a+b=xyz+x3+y3xyz+xy(x+y)=xy(x+y+z)，进而达到证明目的.证明：设a=x3,b=y3,c=z3,且x、y、zr+.由题意得：xyz=1.1+a+b=xyz+x3+y3.x3+y3-(x2y+xy2)=x2(x-y)+y2(y-x)=(x-y)2(x+y)0.x3+y3x2y+xy2.1+a+b=xyz+x3+y3xyz+xy(x+y)=xy(x+y+z).同理：由对称性可得,命题得证.综合应用7.设a、b、c0，且a+b+c=3，求证：a2+b2+c2+abc.思路分析：先运用对称性确定符号，设abc，则a1，再使用基本不等式可以避开讨论，作差比较作适当放缩.证明：不妨设abc，则a1.a-0.又()2bc，即()2bc，也即bc(a-)(3-a)2(a-).左边=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)+abc=9-2a(b+c)+bc(a-)9-2a(3-a)+(3-a)2(a-)=9+(3-a)(3-a)(a-)-a=9-(3-a)a2+a+4=9-(-a3+2a2-a+12)=+a(a2-2a+1)=+a(a-1)2,a2+b2+c2+abc.8.设a、b、cr+，pr，求证：abc(ap+bp+cp)ap+2(-a+b+c)+bp+2(a-b+c)+cp+2(a+b-c).思路分析：由于a,b,c大小关系未知，证起来不方便，先设出大小关系，再作差整理，通过适当的放缩达到证明目的.证明：不妨设abc0，于是左边-右边=ap+1(bc+a2-ab-ca)+bp+1(ca+b2-bc-ab)+cp+1(ab+c2-ca-bc)=ap+1(a-b)(a-b)+(b-c)-bp+1(a-b)(b-c)+cp+1(a-b)+(b-c)(b-c)=ap+1(a-b)(a-c)+(a-b)(b-c)(-bp+1)+cp+1(b-c)(a-c)(a-b)(b-c)(ap+1-bp+1+cp+1).如果p+10，那么ap+1-bp+10；如果p+10，那么cp+1-bp+10，故有(a-b)(b-c)(ap+1-bp+1+cp+10，从而原不等式得证.9.设0abc1，求证：+(1-a)(1-b)(1-c)1.思路分析：根据已知，先放大，再证明+(1-a)(1-b)(1-c)1，再作适当的放缩即可.证明：设0abc1，于是有，再证明以下简单不等式：+(1-a)(1-b)(1-c)1，因为左边=+(1-a)(1-b)(1-c)=1-1-(1+a+b)(1-a)(1-b)，再注意(1+a+b)(1-a)(1-b)(1+a+b+ab)(1-a)(1-b)=(1+a)(1+b)（1-a）(1-b)=(1-a2)(1-b2)1,得证.回顾展望10.(2006全国高考) 设数列an的前n项的和sn=an-2n+1+,n=1,2,3, .（）求首项a1与通项an；（）设tn=，n=1,2,3, .证明：.思路分析：在第二步中,tn=,用到了裂项法，这样最后再用放缩法证明等式成立，.证明：()由sn=an-2n+1+,n=1,2,3，,得a1=s1=a1-4+，所以a1=2.再由有sn-1=an-1-2n+,n=2,3，4,将和相减得:an=sn-sn-1=(an-an-1)-(2n+1-2n),n=2,3,整理得:an+2n=4(an-1+2n-1),n=2,3,因而数列an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:an+2n=44n-1=4n,n=1,2,3,因而an=4n-2n,n=1,2,3,()将an=4n-2n代入得,sn=(4n-2n)-2n+1+=(2n+1-1)(2n+1-2)=(2n+1-1)(2n-1)；tn=,所以,.11.(2006广东高考) a是定义在2,4上且满足如下条件的函数(x)组成的集合：对任意的x1,2，都有(2x)(1,2)；存在常数l(0l1)，使得对任意的x1,x21,2，都有|(2x1)-(2x2)|l|x1-x2|.()设(x)=,x2,4，证明：(x)a.()设(x)a，如果存在x0(1,2)，使得x0=(2x0)，那么这样的x0是唯一的.()设(x)a，任取x1(1,2)，令xn+1=(2xn)，n=1,2，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式|xk+p-xk|x2-x1|.思路分析：根据已知条件中存在常数l(0l1)，使得对任意的x1,x21,2，都有|(2x1)-(2x2)|l|x1-x2|，可以猜想用到放缩法，又由于3，0,所以问题得证.第二小题中出现了唯一性问题，可考虑用反证法.第三小题仍考虑用放缩法较好.证明：()对任意x1，2,(2x)=,x1,2,(2x),12,所以(2x)(1,2)；对任意的x1,x21,2,|(2x1)-(2x2)|=|x1-x2|，3，所以0,令=l,0l1,|(2x1)-(2x2)|l|x1-x2|,所以(x)a.()反证法:设存在两个x0,x0(1,2),x0x0,使得x0=(2x0),x0=(2x0),则由|(2x0)-(2x0)|l|x0-x0|，得|x0-x0|l|x0-x0|，所以|x0-x0|=0，矛盾，故结论成立.()|x3-x2|=|(2x2)-(2x1)|l|(x2-x1)|,所以|xn+1-xn|ln-1|x2-x1