人教B版选修45 1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法 学案.doc

1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.1.1不等式的基本性质1.1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.理解实数大小与实数运算性质间的关系，掌握比较两个实数大小的方法.2.理解不等式的性质，能够运用不等式的性质比较大小.3.掌握一元一次不等式和一元二次不等式的解法.基础初探教材整理1不等式的性质1.对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：abab0；ababbbb，bcac.(3)加(减)：abacbc.(4)乘(除)：ab，c0acbc；ab，c0acb0anbn，其中n为正整数，且n2.(6)开方(取算术根)：ab0，其中n为正整数，且n2.(7)可加性：ab，cdacbd.(8)可乘性：ab0，cd0acbd.若a，b是任意实数，且ab，则()a.a2b2b.0d.b并不能保证a，b均为正数，从而不能保证a，b成立.又abab0，但不能保证ab1，从而不能保证c成立.显然d成立.事实上，指数函数y是减函数，所以abb，(1)当a0时，该不等式的解集为；(2)当a0时，该不等式的解集为；(3)当a0时，若b0(a0)的解法：b24ac000)的图象ax2bxc0(a0)的根有两个不等的实根x1，x2且x10(a0) 的解集x|xx2rax2bxc0)的解集x|x1x0的解集是()a.x|2x3b.x|x3c.x|1x6d.x|x6【解析】原不等式可化为x25x60，即(x2)(x3)0，所以原不等式的解集为x|2x3，比较x33与3x2x的大小；(2)若m0，试比较mm与2m的大小.【精彩点拨】(1)只需考查两者的差同0的大小关系；(2)注意到2m0，可求商比较大小，但要注意到用函数的性质.【自主解答】(1)x333x2xx2(x3)(x3)(x3)(x1)(x1).x3，(x3)(x1)(x1)0，x333x2x.(2)，当m2时，1，此时mm2m；当0m2时，01，1，mm2时，1，1，mm2m.1.利用作差法比较大小，实际上是把比较两数大小的问题转化为差的符号问题.作差时，只需看差的符号，至于差的值究竟是多少，这里无关紧要.2.在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断.作差法变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等.3.利用求商比较法比较两个式子的大小时，第(2)步的变形要向着有利于判断商与1的大小关系的方向变形，这是最重要的一步.再练一题1.已知a，b，其中x，y为正数，试比较a与b的大小. 【导学号：38000001】【解】ab.x，y均为正数，x0，y0，xy0，xy0，(xy)20，ab0，即ab.利用不等式的性质求范围设f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4，在求f(2)的取值范围时有如下解法：由得3f(2)4a2b12.上述解法是否正确？为什么？【精彩点拨】本题错在多次运用同向不等式相加(单向性)这一性质上，导致f(2)的范围扩大.因此需要将f(2)用ab与ab整体表示.【自主解答】给出的解法不正确.设f(2)mf(1)nf(1)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(mn)b.于是解得f(2)3f(1)f(1).又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10.因此，f(2)的取值范围是5,10.1.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础.2.先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径.再练一题2.已知6a8,2b3，分别求ab，的取值范围.【解】6a8,2b3.3b2，9ab6，则ab的取值范围是(9,6).又，(1)当0a8时，04；(2)当6a0时，30.由(1)(2)得30；(2)9x26x10；(3)x24x50.【精彩点拨】先由不等式确定对应的一元二次方程ax2bxc0的根，再根据二次函数yax2bxc的图象确定不等式的解集.【自主解答】(1)方程3x25x20的两根为x12，x2，函数y3x25x2的图象开口向上，与x轴交于两个点 (2,0)，观察图象可得不等式3x25x20的解集为x或x0的解集为.(3)方程x24x50可化为(x2)210，故方程x24x50没有实数根，函数yx24x5的图象开口向上并且与x轴没有交点，由图象可得，不等式x24x50的解集为r.当a0时，解形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(ar).【解】原不等式可化为(xa)(xa2)0，当a0时，aa2，解集为x|xa2；当a0时，a2a，解集为x|x0；当0a1时，a2a，解集为x|xa；当a1时，a2a，解集为x|x1；当a1时，aa2，解集为x|xa2.综上所述：当a1时，解集为x|xa2；当0a1时，解集为x|xa；当a0时，解集为x|x0；当a1时，解集为x|x1.一元二次不等式的应用设ar，关于x的一元二次方程7x2(a13)xa2a20有两个实数根x1，x2且0x11x20，f(1)0，所以只需解关于a的不等式组，即可求出a的取值范围.【自主解答】设f(x)7x2(a13)xa2a2.x1，x2是方程f(x)0的两个实根，且0x11,1x22，有即有有有2a1或3a4.a的取值范围是a|2a1或3abb0b，ab00对一切xr都成立的充要条件是什么？【提示】或若不等式x2ax10对一切xr都成立，求实数a的取值范围.【精彩点拨】设f(x)x2ax1，只要f(x)的图象全部位于x轴上方，只要顶点在x轴上或x轴上方即可.【自主解答】a240，2a2，实数a的取值范围是2,2.再练一题7.把上述例题中“xr”改为x，求a的取值范围.【解】法一：x2ax10，x可化为ax，设f(x)x，x，af(x)min.f(x)在上是减函数，f(x)minf，a，a，a的取值范围是.法二：设f(x)x2ax1，则对称轴为x.当，即a1时，f(x)在上是减函数，应有f0a1；当0，即a0时，f(x)在上是增函数，应有f(0)10恒成立，故a0；当0，即1a0时，应有f110恒成立，故1anb.m0，故mn.【答案】a2.已知函数f(x)xx3，x1，x2，x3r，x1x20，x2x30，x3x10，那么f(x1)f(x2)f(x3)的值()a.一定大于0b.一定小于0c.等于0d.正负都有可能【解析】x1x20x1x2.又f(x)xx3为奇函数，且在r上递增，f(x1)f(x2)f(x2)，即f(x1)f(x2)0.同理：f(x2)f(x3)0，f(x1)f(x3)0.以上三式相加，整理得f(x1)f(x2)f(x3)f(a)，求实数a的取值范围.