人教B版选修45 用数学归纳法证明不等式 自主训练.doc

4.2 用数学归纳法证明不等式自主广场我夯基我达标1.用数学归纳法证明“,(nn+)”时，由n=k到n=k+1时，不等式左边应添加的项是（ ）a.b.c.d.思路解析：当n=k时，不等式为，当n=k+1时，左边=,比较n=k与n=k+1的左边，知应添加的项是.答案：c2.用数学归纳法证明1+1)时，第一步即证下述哪个不等式成立（ ）a.12 b.1+2c.1+2 d.1+2思路解析：n=2时，左边=1+，右边=2.所以应证1+2.答案：c3.用数学归纳法证明“1+1)”时，由n=k（k1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（ ）a.2k-1 b.2k-1 c.2k d.2k+1思路解析：增加的项数为（2k+1-1）-(2k-1)=2k+1-2k=2k.答案：c4.关于正整数n的不等式2nn2成立的条件是（ ）a.nn+ b.n4c.n4 d.n=1或n4思路解析：验证n=1,2,3,4,5,6等值.答案：d5.对于不等式n+1(nn+),某学生的证明过程如下：（1）当n=1时，1+1，不等式成立.(2)假设n=k(kn+)时，不等式成立，即成立.证明：(1)当n=2时，左边=1+=,右边=,左边右边.不等式成立.(2)假设n=k时，不等式成立，即（1+）(1+)(1+),那么当n=k+1时，（1+）(1+)(1+)1+=.n=k+1时，不等式也成立.由（1）（2）知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立.8.设数列an满足a1=2,an+1=an+(n=1,2,3,)求证：an对一切正整数n成立.证法一：当n=1时，a1=2,不等式成立,假设n=k时，ak成立.当n=k+1时,ak+12=ak2+22k+3+2(k+1)+1.n=k+1时，ak+1成立.综上（1）（2）可知，an对一切正整数成立.证法二：当n=1时，a1=2=,结论成立.假设n=k时结论成立，即ak.当n=k+1时，由函数f(x)=x+(x1)的单调性和归纳假设有ak+1=ak+.因此只需证+,而这等价于()+()20显然成立.所以当n=k+1时，结论成立.因此，an对一切正整数n均成立.9.（经典回放）已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145(nn+)(1)求数列bn的通项.（2）设数列an的通项an=loga(1+)(其中a0且a1),记sn是数列an的前n项和，试比较sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.解：(1)设数列bn的公差为d,由题意，得101+d=145,d=3,bn=3n-2.(2)由bn=3n-2知,sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+),logabn+1=loga.因此要比较sn与logabn+1的大小，可先比较（1+1）(1+)(1+)与的大小.取n=1,有(1+1),取n2，有(1+1)(1+)(1+).下面用数学归纳法证明之：当n=1时，已验证不等式成立.假设当n=k(kn +)时，不等式成立，即(1+1)(1+)(1+),则当n=k+1时,(1+1)(1+)(1+)1+(1+)=(3k+2).(3k+2)3-()3=0.+1(3k+2)=.因此(1+1)(1+)(1+)1+.这说明，当n=k+1时，不等式也成立.由知，对一切nn +,不等式(1+1)(1+)(1+)都成立.再由对数的性质，可得：当a1时，snlogabn+1;当0a1时,sn,所以由f(2),求得m的值.答案：b11.设n为正整数，f(n)=1+,计算得f(2)=,f(4)2,f(8),f(16)3,f(32),观察上述结果，可推测出一般结论（ ）a.f(2n) b.f(n2)c.f(2n) d.以上都不对思路解析：f(2)=,f(4)=f(22),f(8)=f(23),f(16)=f(24),f(32)=f(25)=,所以f(2n).答案：c12.如果123+234+345+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+a)(n+b)对一切正整数n都成立， a，b的值应该等于（ ）a.a=1,b=3 b.a=-1,b=1c.a=1,b=2 d.a=2,b=3思路解析：令n=1,2，得到关于a、b的方程组，解得即可.答案：d13.设ar,f(x)=是奇函数，（1）求a的值;(2)如果g(n)=(nn+)，试比较f(n)与g(n)的大小(nn+).思路解析：(1)f(x)是定义在r上的奇函数，f(0)=0,故a=1.(2)f(n)-g(n)=.只要比较2n与2n+1的大小.当n=1,2时，f(n)2n+1,f(n)g(n).下面证明，n3时，2n2n+1，即f(x)g(x).n=3时，2323+1,显然成立，假设n=k(k3,kn)时，2k2k+1,那么n=k+1时，2k+1=22k2(2k+1).2(2k+1)-2(k+1)+1=4k+2-2k-3=2k-10(k3),有2k+12(k+1)+1.n=k+1时，不等式也成立，由可以断定,n3,nn时,2n2n+1.结论:n=1,2时,f(n)g(n).14.某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量.(1)求an的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量应不少于a,如果b=a,那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（取lg2=0.30）.思路解析：(1)依题意，得a1=a(1+)-b=a-b,a2=a1-b=(a-b)-b=()2a-(+1)b,a3=a2-b=()3a-()2+1b,由此猜测：an=()na-()n-1+()n-2+1b=()na-4()n-1b(nn+).下面用数学归纳法证明：当n=1时，a1=a-b,猜测成立.假设n=k时，猜测成立.即ak=()ka-4()k-1b成立.那么当n=k+1时，ak+1=ak-b=()ka-4()k-1b-b=()k+1a-4()k+1-1b,即当n=k+1时，猜测成立.由知,对任意的自然数n猜测成立.(2)当b=a时，若该地区今后发生水土流失时，则森林木材存量必须小于a,()na-4()n-1a5,两边取对数得：nlglg5,n=7. 经过8年该地区就开始水土流失.15. 已知函数f(x)=ax-x2的最大值不大于，又当x,)时，f(x).(1)求a的值；（2）设0a1,an+1=f(an)，求证：0an.思路解析：(1)由于f(x)=ax-x2的最大值不大于，所以f()=,即a21.又