人教B版选修45 2.3三个正数的算术—几何平均不等式 学案.doc

3三个正数的算术几何平均不等式 对应学生用书p81定理3如果a，b，cr，那么，当且仅当abc时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均(1)不等式成立的条件是：a，b，c均为正数，而等号成立的条件是：当且仅当abc.(2)定理3可变形为：abc()3；a3b3c33abc.(3)三个及三个以上正数的算术几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”2定理3的推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当a1a2an时，等号成立 对应学生用书p8用平均不等式证明不等式例1已知a，b，cr，求证：3.思路点拨欲证不等式的右边为常数3，联想到不等式abc3(a，b，cr)，故将所证不等式的左边进行恰当的变形证明3333633.当且仅当abc时取等号证明不等式的方法与技巧(1)观察式子的结构特点，分析题目中的条件若具备“一正，二定，三相等”的条件，可直接应用该定理若题目中不具备该条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明(2)三个正数的算术几何平均不等式是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此凡是利用该不等式证明的不等式，一般可用比较法证明1设a，b，c0，求证：abc2.证明：因为a，b，c0，由算术几何平均不等式可得3，即(当且仅当abc时，等号成立)所以abcabc.而abc22(当且仅当a2b2c23时，等号成立)，所以abc2(当且仅当abc时，等号成立)2已知a1，a2，an都是正数，且a1a2an1，求证：(2a1)(2a2)(2an)3n.证明：因为a1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2a111a13.同理2aj3 (j2,3，n)将上述各不等式的两边分别相乘即得(2a1)(2a2)(2an)(3)(3)(3)3n.a1a2an1，(2a1)(2a2)(2an)3n.当且仅当a1a2an1时，等号成立.用平均不等式求最值例2(1)求函数y(x1)2(32x)的最大值(2)求函数yx(x1)的最小值思路点拨对于积的形式求最大值，应构造和为定值(2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值解：(1)1x0，x10.y(x1)2(32x)(x1)(x1)(32x)33，当且仅当x1x132x，即x时，ymax.(2)x1，x10，yx(x1)(x1)1314，当且仅当(x1)(x1)，即x3时等号成立即ymin4.(1)利用三个正数的算术几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“即一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等3设x0，则f(x)4x的最大值为()a4b4c不存在 d.解析：x0，f(x)4x4434.答案：d4若0x1，则函数yx4(1x2)的最大值是_，此时x_.解析：因为0x1，所以yx4(1x2)x2x2(22x2)3，当且仅当x2x222x2，即x时，函数yx4(1x2)取得最大值.答案：用平均不等式解应用题例3如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度e和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即ek.这里k是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？思路点拨解r，ek.e2sin2cos4(2sin2)cos2cos23.当且仅当2sin2cos2时取等号，即tan2，tan .h2tan .即h时，e最大本题获解的关键是在获得了ek后，对e的表达式进行变形求得e的最大值解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解5已知长方体的表面积为定值s，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值解：设长方体的体积为v，长、宽、高分别是a，b，c，则vabc，s2ab2bc2ac.v2(abc)2(ab)(bc)(ac)33.当且仅当abbcac，即abc时，上式取“”号，v2取最小值.由解得abc.即当长方体的长宽高都等于时，体积最大，最大值为. 对应学生用书p101已知x为正数，下列各题求得的最值正确的是()ayx22x36，ymin6.by2x33，ymin3.cy2x4，ymin4.dyx(1x)(12x)3，ymax.解析：a，b，d在使用不等式abc3(a，b，cr)和abc3(a，b，cr)都不能保证等号成立，最值取不到c中，x0，y2x2224，当且仅当x，即x1时取等号答案：c2设a，br，且ab3，则ab2的最大值为()a2 b3c4 d6解析：ab24a43434134，当且仅当a1时，等号成立即ab2的最大值为4.答案：c3若logxy2，则xy的最小值是()a. b.c. d.解析：由logxy2得y.而xyx33，当且仅当即x时取等号答案：a4已知圆柱的轴截面周长为6，体积为v，则下列总成立的是()av bvcv dv解析：设圆柱半径为r，则圆柱的高h，所以圆柱的体积为vr2hr2r2(32r)3.当且仅当r32r，即r1时取等号答案：b5设0x1，则x(1x)2的最大值为 _.解析：0x0.故.x(1x)2.答案：6若a2，b3，则ab的最小值为_解析：a2，b3，a20，b30.则ab(a2)(b3)5358.当且仅当a2b3即a3，b4时等号成立答案：87已知关于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，则实数a的最小值为_解析：2x(xa)(xa)2a，xa0.2x32a，32a，当且仅当xa即xa1时，取等号2x的最小值为32a.由题意可得32a7，得a2.答案：28设a，b，cr，求证：(abc).证明：a，b，cr，2(abc)(ab)(bc)(ca)30.30，(abc).当且仅当abc时，等号成立9设x，y，z0，且x3y4z6，求x2y3z的最大值解：6x3y4zyyy4z6，x2x3z1.x2，y1，z时，x2y3z取得最大值1.10有一块边长为36 cm的正三角形铁皮，从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的三个四边形面积之和等于多少？最大容积是多少？解：剪下的三个全等的四边形如图所示，设a1f1