人教B版选修11 直线与双曲线的位置关系 课时作业.doc

第6课时直线与双曲线的位置关系基础达标(水平一 )1.已知直线l过点(2,0),且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点,则这样的直线有().a.1条b.2条c.3条d.4条【解析】点(2,0)即为双曲线的右顶点,过该点的直线有2条与双曲线渐近线平行且与双曲线仅有一个公共点,另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点,故这样的直线只有3条.【答案】c2.已知双曲线c:x2a2-y24=1的一条渐近线方程为2x+3y=0,f1、f2分别是双曲线c的左、右焦点,点p在双曲线c上,且|pf1|=2,则|pf2|等于().a.4b.6c.8d.10【解析】依题意,有2a=23,所以a=3,因为|pf1|=2,所以点p在双曲线的左支上,所以|pf2|-|pf1|=2a,解得|pf2|=8,故选c.【答案】c3.已知点p(3,-4)是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)渐近线上的一点,e,f是左、右两个焦点,若epfp=0,则双曲线的方程为().a.x23-y24=1b.x24-y23=1c.x29-y216=1d.x216-y29=1【解析】由题意知,点e(-c,0),f(c,0),则epfp=(3+c,-4)(3-c,-4)=9-c2+16=0,所以c2=25.可排除a,b选项.又d选项中双曲线的渐近线方程为y=34x,点p不在渐近线上,排除d选项,故c正确.【答案】c4.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是().a.-153,153b.0,153c.-153,0d.-153,-1【解析】由y=kx+2,x2-y2=6,得(1-k2)x2-4kx-10=0.由题意得1-k20,=16k2+40(1-k2)0,4k1-k20,10k2-10,解得-153k0)右焦点f作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点.则双曲线离心率的取值范围为.【解析】由题意可知5-a20,25-a2a23,从而45-a2a20,b0)的左焦点,定点a为双曲线虚轴的一个端点,过f,a两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为b,若ab=3fa,则此双曲线的离心率为.【解析】因为f为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点,定点a为双曲线虚轴的一个端点,所以可设点f(-c,0),a(0,b),b(xb,yb),直线af:y=bcx+b.由题意知,直线af与渐近线y=bax相交.联立两直线y=bcx+b,y=bax,消去x,得yb=bcc-a.由ab=3fa,得yb=4b,所以bcc-a=4b,解得离心率e=43.【答案】437.从双曲线x2-y2=1上一点q作直线x+y=2的垂线,垂足为n,求线段qn的中点p的轨迹方程.【解析】设点p(x,y),q(x0,y0),则点n(2x-x0,2y-y0),代入x+y=2,得2x-x0+2y-y0=2.因为pq垂直于直线x+y=2,所以y-y0x-x0=1,即x-y-x0+y0=0.由得x0=32x+12y-1,y0=12x+32y-1.由点q(x0,y0)在双曲线x2-y2=1上,代入双曲线方程,得点p的轨迹方程为2x2-2y2-2x+2y=1.拓展提升(水平二)8.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0),若存在过右焦点f的直线与双曲线交于a,b两点,且af=3bf,则该双曲线离心率的最小值为().a.2b.3c.2d.22【解析】因为过右焦点的直线与双曲线c相交于a,b两点,且af=3bf,所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支,即a在左支,b在右支.设点a(x1,y1),b(x2,y2),右焦点f(c,0),因为af=3bf,所以c-x1=3(c-x2),即3x2-x1=2c.因为x1-a,x2a,所以-x1a,3x23a,所以3x2-x14a,即2c4a,ca2,即e2,故选c.【答案】c9.已知双曲线x22-y23=1上存在两点p,q关于直线y=x+b对称,且pq的中点m在直线2x+y-2=0上,则实数b的值为().a.-10b.-8c.-2d.2【解析】因为点p,q关于直线y=x+b对称,所以线段pq的垂直平分线的方程为y=x+b,所以直线pq的斜率为-1.设直线pq的方程为y=-x+m,令点p(xp,yp),q(xq,yq),m(xm,ym),由y=-x+m,x22-y23=1,得x2+4mx-2m2-6=0,所以xp+xq=-4m,所以xm=-2m,所以点m(-2m,3m).又因为pq的中点m在直线2x+y-2=0上,所以-4m+3m-2=0,解得m=-2,由pq的中点m也在直线y=x+b上,得b=5m,所以b=-10,故选a.【答案】a10.连接双曲线x2a2-y2b2=1和y2b2-x2a2=1(其中a0,b0)的四个顶点的四边形的面积为s1,连接四个焦点的四边形的面积为s2,则当s1s2的值最大时,双曲线y2b2-x2a2=1的离心率为.【解析】由题意可知s1=122a2b=2ab,s2=122c2c=2c2,s1s2=abc2=aba2+b2=1ba+ab12,当且仅当ba=ab,即a2=b2=c2-a2时等号成立,此时双曲线y2b2-x2a2=1的离心率为e=ca=2.【答案】211.直线l:y=kx+1与双曲线c:2x2-y2=1的右支交于不同的两点a,b.(1)求实数k的取值范围.(2)是否存在实数k,使得以线段ab为直径的圆经过双曲线c的右焦点f?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线c的方程2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.依题意,直线l与双曲线c的右支交于不同两点,故k2-22,=(2k)2-8(k2-2)0,-2kk2-20,2k2-20,解得-2k-2.(2)设a,b两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由式得x1+x2=2k2-k2,x1+x2=2k2-2.假设存在实数k,使得以线段ab为直径的圆经过双曲线c的右焦点f(c,0).则由fafb,得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0,即(x1-c)(x2-