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第五讲 波动率 波动率的定义 某个变量的波动率 定义为这一变量在单位时间内连续复利收益率的标准差定义Si为变量在时间i的值 则日波动率为ln Si Si 1 的标准差如果我们假设 每日收益率相互独立且具有相同的方差 则T天回报的方差为T乘以每日收益率的积 这意味着 T天收益率的标准差是日收益率标准差的倍这和 不确定性随时间长度的平方根增长 这一法则是一致的 交易天数与日历天数 研究表明 交易所开盘交易时的波动率比关闭时的波动率要大很多 因此 当由历史数据估计波动率时 分析员常常忽略交易所关闭的天数 计算时通常假定每年有252个交易日假设连续交易日的收益率是独立的 并有相同的标准差日波动率大约为年波动率的6 隐含波动率 期权公式中唯一不能直接观察到的一个参数就是股票价格的波动率隐含波动率是将市场上的期权价格代入BSM公式后反推计算出的波动率 VIX指数 VIX指数是S P500指数的波动率指数 VIX指数 VIX是芝加哥期权期货交易所使用的市场波动性指数 通过该指数 可以了解到市场对未来30天市场波动性的预期 VIX由CBOT 芝加哥期权期货交易所 编制 以S P500指数期权的隐含波动率计算得来 1993年从8只成分股为基础计算 现在覆盖了标普500所有成分股 若隐含波动率高 则VIX指数也越高 该指数反映出投资者愿意付出多少成本去对冲投资风险 用股票期权对冲风险的成本 因此 VIX广泛用于反映投资者对后市的恐慌程度 又称 恐慌指数 指数愈高 意味着投资者对股市状况感到不安 指数愈低 表示股票指数变动将趋缓 该类指数有三种 VIX跟踪S P500 VXN跟踪Nasdaq100成分股 VXD则跟踪道琼斯工业指数GVIX 周昆教授等提出 认为波动率计算的3阶项也不能省略 所以得出结果与VIX有不同 似更精确 实际上 我们可以有更精确的计算方法去估算波动率 汇率的日变化量是否服从正态分布 肥尾分布 证券的收益率 从图形上说 较正态分布图的尾部要厚 峰处要尖 是大概率的小规模事件与小概率的大规模事件并存的一种状态 肥尾分布的随机变量 不能简单的用正态分布去拟合这些数据的分布 从而做一些统计推断 一般来说 通过实证分析发现 自由度为5或6的t分布拟合的较好 认识肥尾分布对于投资而言有着极为重要的意义 菲利普安德森说 绝大多数事件取决于分布的尾部 极限状态 而不是均值 取决于例外时间 而不是均值 众多的小概率的大规模事件的存在 如崩盘 也印证了对投资者的影响更为巨大 我们可以回忆VaR值 分布不同对于结果影响很大 正态分布和肥尾分布 幂律 正态分布的代替 在分析很多市场变量的收益行为时 幂律似乎要比正态分布更好 Prob v x Kx a 幂律分布在自然界和人类社会中广泛存在 到目前为止仍然是一个相当神奇的话题 人们似乎可以发现很多符合幂律分布的事实 但人们却很难解释为什么分布会是这个样子 爆发 大数据时代预见未来的新思维以及如下的文章可以作为参考 对应于汇率增量的log log图 估计波动率的标准方法 定义sn为第n 1天所估计的市场变量在第n天的波动率定义Si为市场变量在第i天末的价格定义ui ln Si Si 1 这个公式其实就是一个样本方差的计算公式 那么为什么是样本方差呢 关于总体和样本的思辨 简化形式 定义ui Si Si 1 Si 1假设ui期望为0用m代替m 1 加权权重的格式 对等权重进行改进 ARCH m 模型 在ARCH m 模型中 我们也给长期平均方差VL一个权重 指数加权移动平均模型 EWMA 要避免由于简单移动平均导致的缺陷 最简单的方法是对近期的数据赋予更高的权重 这是指数加权移动平均法 EWMA 背后的基本思想在指数加权移动平均模型中 u2的权重 i随着回望时间加长而按指数速度递减许多风险管理者在计算日收益波动率时使用 0 94 而在计算月波动率时则使用 0 97 JP摩根在1996年公布的RiskMetricsTM技术文档中就是把这两个 值作为研究成果用于实证检验 EWMA的诱人之处 需要的数据相对较少仅需记忆对当前波动率的估计以及市场变量的最新观察值对波动率进行跟踪监测RiskMetrics采用 0 94来更新每天波动率的估计 CWMA与GARCH 运用EWMA估计的市场波动率并不是常数 这正是广义自回归条件异方差模型 GARCH模型 族的核心思想 EWMA属于GARCH模型的一个特例 GARCH模型族假设收益率的条件方差不是常数 因此在不同的时间段里 资产收益率的波动性可能会更高或者更低 即波动聚集性 i是在时刻i的预测误差 即估计值和实际值之间的差距 因此 估计条件方差同样要求估计一个条件均值 条件均值是通过自回归模型AR 1 推导出来的yt 1 yt 式中 yt 1和yt分别代表在t 1和t时刻上的资产收益率 和 是需要通过回归进行估计的常数 是回归方程的误差项 并且有 0 1 2 p 0 从上式可知 显著的预测误差会导致所估计的方差变大 当然 同时还受到 参数值大小的影响 博勒斯洛夫通过将时刻t的条件方差用t 1 t 2 t n时刻的方差来表示 将恩格尔的ARCH模型进行了扩展 EWMA虽然是GARCH的一个特例 但两者计算的结果其实并不相同 GARCH 1 1 模型 在GARCH 1 1 中 我们赋予长期平均方差一定的权重因为权重之和为1 故有令w gVL 可以将GARCH 1 1 模型写成 例10 8 假设每天长期平均方差为0 0002 对应的波动率为1 4 假设对应于n 1天的日波动率估算值为1 6 n 1天市场价格降低1 则第n天的方差为日波动率的最新估计为每天1 53 GARCH p q 其它模型 许多其它的GARCH模型已被提出比如 我们可以设计一个GARCH模型 使其赋予ui2的权重依赖于ui的正负值 方差目标 一种估计GARCH 1 1 参数的很好方法是所谓的方差目标将长期平均方差设定为由数据计算出的抽样方差模型只需要估计两个参数 最大似然估计法 选择合适的参数使得数据发生的几率达到最大 例 随机抽取某一天10只股票的价格 我们发现一只股票价格在这一天价格下降了 而其它9只股票的价格有所增加或至少没有下跌 将任意股票价格下降的概率计为p 那么 一只股票价格下降的概率的最好估计为多少 概率为 p 1 p 9使上式取最大值 观察其最大似然估计 p 0 1 例 估计一个变量服从均值为0的正态分布的方差 GARCH 1 1 的应用 选择参数 最大化下式 日元汇率数据的计算 1988 1997年日元日波动率 未来波动率的预测 经过一系列的代数过程 可得估计一个期限为T天的期权的波动率 我们必须对即时方差求