2019-2020学年开封市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年河南省开封市高一上学期期末数学试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】直接利用交集的定义求解.【详解】因为集合，所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2函数的定义域为（ ）ABCD【答案】B【解析】解不等式组即得解.【详解】由题得，解之得.所以函数的定义域为.故选：B【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标是（ ）ABCD【答案】D【解析】先求出定点的横坐标，再求出纵坐标得解.【详解】令x-2=1,所以x=3.当x=3时，.所以函数的图象过定点（3,1）.故选：D【点睛】本题主要考查对数函数图象的定点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4以下利用斜二测画法得到的结论，其中正确的是（ ）A相等的角在直观图中仍相等B相等的线段在直观图中仍相等C平行四边形的直观图是平行四边形D菱形的直观图是菱形【答案】C【解析】根据斜二测画法的规则，分别判断每个图象的变化情况即可得解.【详解】根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行轴的线段长度不变，平行于轴的长度减半；对于，平面图形中的直角，在直观图中变为或角，不再相等，所以错误；对于，根据斜二测画法知，相等的线段在直观图中不一定相等，所以错误；对于，根据平行性不变原则，平行四边形的直观图仍然是平行四边形，所以正确；对于，菱形的直观图中高的长度减半，对应的直观图不再是菱形，所以错误故选：【点睛】本题考查了对斜二测画法的理解与应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题5下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（ ）ABCD【答案】D【解析】对每一个选项的函数逐一分析判断得解.【详解】A. 是奇函数且在区间上单调递增，所以该选项不符合已知；B. 是偶函数，所以该选项不符合已知；C. 是一个非奇非偶的函数，所以该选项不符合已知；D. 是奇函数且在区间上单调递减，所以该选项符合已知.故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6已知直线，若，则与间的距离为（ ）ABCD【答案】D【解析】解方程求出a的值，再求两平行线间的距离得解.【详解】由题得或.当a=3时，两直线重合，所以a=3舍去，所以a=-1.当a=-1时，两直线间的距离为.故选：D【点睛】本题主要考查两直线平行的判定和两平行线间的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7下列条件中，能判断平面与平面平行的是（ ）A内有无穷多条直线都与平行B与同时平行于同一条直线C与同时要直于同一条直线D与同时垂直于同一个平面【答案】C【解析】利用空间几何元素的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 内有无穷多条直线都与平行,则还可能和相交，所以该选项错误；B. 与同时平行于同一条直线，则还可能和相交，所以该选项错误；C. 与同时要直于同一条直线，则和平行，所以该选项正确；D. 与同时垂直于同一个平面，则还可能和相交，所以该选项错误.故选：C【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8已知函数，则（ ）A在区间内均有零点B在区间内均无零点C在区间内无零点，在区间内有零点D在区间内有零点，在区间内无零点【答案】A【解析】证明，即得解.【详解】由题得，所以函数区间内有零点；由题得，所以函数区间内有零点.故选：A【点睛】本题主要考查零点定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.一块“堑堵”形石材表示的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成若干个相同的球，并使每个球的体积最大，则所剩余料的体积为（ ）ABCD【答案】A【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用体积公式的应用求出结果【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为三棱柱如图所示：所以该几何体的与三个侧面都相切的球的最大半径为由于侧棱长为6，故可以截得3个半径为1的球体所以余料的体积为故选：【点睛】本题考查的知识要点、三视图和几何体之间的转换、几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型10已知函数若，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】由分段函数得到或，由指数不等式和分式不等式的解法，求出不等式组的解，最后求并集【详解】函数，且，或，即或，或，即故选：【点睛】本题考查分段函数及应用，考查不等式的解法，考查指数不等式和分式不等式的解法，属于基础题11函数的图象大致为（ ）ABCD【答案】A【解析】试题分析：解:令,解得,该函数有三个零点,故排除B；当时,当时,排除C、D故选A【考点】函数的图象12正方体的棱长为1，分别为的中点.有下述四个结论：直线与直线垂直；直线与平面平行；平面截正方体所得的截面面积为；直线与直线所成角的正切值为；其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD【答案】A【解析】利用线线平行，将与的位置关系转换为判断与的位置关系；作出辅助线：取的中点，连接、，然后利用面面平行判断；作出截面，再根据梯形的面积公式求需要的线段长；利用平移的思想，将两条异面直线平移在同一个平面内，然后结合余弦定理求夹角的余弦值，再转化为正切值【详解】对于，因为，若，则，从图中可以看出，与相交，但不垂直，所以错误；对于，如图所示，取的中点，连接、，则有，因为，所以平面平面又因为平面，所以平面，即正确；对于，如图所示，连接，延长，交于点，因为，分别为，的中点，所以，所以、四点共面，所以截面即为梯形因为，所以，即，所以又，所以即，所以等腰的高，梯形的高为，所以梯形的面积为，所以正确；对于，因为，所以直线与直线所成角即为所求在三角形中，由余弦定理得，因为直线的夹角范围为，所以直线与直线所成角的正切值为3所以错误故选：【点睛】本题属于立体几何大综合，考查了线线、线面的位置关系，异面直线的夹角，平面截几何体所得的截面等，作出正确的辅助线是解题的突破口，考查了对学生的空间感，以及对线面位置关系的判定定理与性质定理掌握的熟练程度属于难题二、填空题13已知直线的倾斜角为45，且经过点，则的值为_.【答案】【解析】解方程即得解.【详解】由题得.故答案为：【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14若为奇函数，则_.【答案】【解析】先根据函数是奇函数求出a的值，再求解.【详解】由题得函数的定义域为R,因为函数是奇函数，所以.所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查奇函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15在梯形中，.将梯形绕所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为_.【答案】【解析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可【详解】由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：故答案为：【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力画出几何体的直观图是解题的关键16把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有60的物体，放在20的空气中冷却，1分钟以后物体的温度是50，则_.（精确到0.01）（参考数据：）【答案】0.29【解析】的物体，放在的空气中冷却，1分钟以后物体的温度是，则，从而，由此能求出的值【详解】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度可由公式求得，的物体，放在的空气中冷却，1分钟以后物体的温度是，则，故答案为：0.29【点睛】本题考查实数值的求法，考查函数性质在生产生活中的实际应用，考查运算求解能力，是基础题17如图，在正方体中，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.（只需在下面横线上填写给出的如下结论的序号：平面，平面，）证明：（1）设，连接.因为底面是正方形，所以为的中点，又是的中点，所以_.因为平面，_，所以平面.（2）因为平面平面，所以_，因为底面是正方形，所以_，又因为平面平面，所以_.又平面，所以平面平面.【答案】（1），（2），【解析】（1）由中位线的性质即可得到第一空的答案，进而利用线面平行判定的条件得到第二空的答案；（2）利用线面垂直的性质，正方形对角线互相垂直以及面面垂直的判定条件得解【详解】（1）因为底面是正方形，所以为的中点，又是的中点，所以；因为平面，平面，所以平面故答案为：；（2）因为平面，平面，所以，因为底面是正方形，所以，又因为，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面故答案为：故答案为：（1），（2），【点睛】本题考查线面平面及面面垂直的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，考查逻辑推理能力，属于基础题三、解答题18求下列各式的值.（1）；（2）.【答案】（1）0；（2）2【解析】直接利用指数和对数的运算法则化简求值即得解.【详解】（1）（2）【点睛】本题主要考查指数和对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19三角形的三个顶点是.（1）求边上的中线所在直线的方程；（2）求边上的高所在直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）先求出的中点为，再利用两点式求出直线的方程；（2）先求出边上的高所在直线的斜率为，再利用点斜式求出直线的方程.【详解】（1）的中点为，由两点式可得，所以所求直线方程为.（2）边所在直线斜率为，边上的高所在直线的斜率为，由点斜式可得，所以所求直线方程为.【点睛】本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.20某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入.政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益、养鸡的收益与投入（单位：万元）满足.设甲合作社的投入为（单位：万元），两个合作社的总收益为（单位：万元）.（1）若两个合作社的投入相等，求总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大?【答案】（1）87万元；（2）甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元【解析】（1）先求出，再求总收益；（2）（2）设甲合作社投入万元，乙合作社投入万元，再对x分类讨论利用函数求出如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大.【详解】（1）两个合作社的投入相等，则，（万元）（2）设甲合作社投入万元，乙合作社投入万元.当时，令，得，则总收益，当即时，总收益取最大值为89；当时，在上单调递减，所以.因为，所以在甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元时，总收益最大，最大总收益为89万元.【点睛】本题主要考查函数的应用和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力.21如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且，是线段的中点，是线段上的动点.（1）与所成的角是否为定值，试说明理由；（2）若二面角为60，求四面体的体积.【答案】（1）为定值，理由见解析；（2）【解析】（1）先证明平面，再证明，即得与所成角为定值90；（2）先分析得到，再求四面体的体积得解.【详解】解：（1）因为平面平面，所以平面，平面，所以，同理可证.又为菱形，所以，.又为的中点，所以.设，连接，所以.又，所以平面.又平面，所以，故与所成角为定值90.（2），为中点，可得，为二面角的平面角，所以，易知，可得，又，可得，由（1）平面，所以.【点睛】本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查空间角和几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”.（1）若是“型函数”，且，求满足条件的实数对；（2）已知函数.函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，.若对任意时，都存在，使得，求实数的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）解方程，即得解；（2）等价于在上的值域是在上的值域的子集，等价于对任意，都有.再利用是“型函数”求解.【详解】解：（1）因为是“型函数”，