人教B版选修22 1.3.3导数的实际应用 学案1.doc

课堂导学三点剖析一、利润最值【例1】 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p=24 200-x2，且生产x吨的成本为r=50 000+200x元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？解：每月生产x吨时的利润为f(x)=(24 200-x2)x-(50 000+200x)=-x3+24 000x-50 000(x0)，由f(x)=x2+24 000=0，解得x1=200,x2=-200（舍去）.因f(x)在0,+)内只有一个点x=200使f（x）=0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)=-(200)3+24 000200-50 000=3 150 000.答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.温馨提示 用导数解应用题，求最值一般方法是求导，使导数等于0，求y=0的根，求出最值点，最后写出解答.二、生活中的优化问题【例2】 已知某厂生产x件产品的成本为c=25 000+200x+x2(元).（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：本题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解.（1）设平均成本为y元，则y=(x0)，y=.令y=0,得x1=1 000,x2=-1 000(舍去).当在x=1 000附近左侧时，y0；在x=1 000附近右侧时，y0；故当x=1 000时，y取得极小值.由于函数只有一个点使y=0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品.(2)利润函数为l=500x-(25 000+200x+)=300x-25 000-.l=(300x-25 000-)=300-.令l=0，得x=6 000，当x在6 000附近左侧时，l0；当x在6 000附近右侧时l0，故当x=6 000时，l取得极大值.由于函数只有一个使l=0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值.因此，要使利润最大，应生产6 000件产品.三、导数在生活中优化问题的应用【例3】 如图所示，水渠横断面为等腰梯形.（1）若渠中流水的横断面积为s，水面的高为h，当水渠侧边的倾斜角为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？（2）若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a，当水渠侧边倾斜角多大时，水流的横断面积为最大？解：（1）依题意，侧边bc=h（sin）-1，设下底ab=x，则上底cd=x+2hcot，又s=（2x+2hcot）h=(x+hcot)h，下底x=sh-hcot,横断面被水浸湿周长l=(0).l=.令l=0，解得cos=,=.根据实际问题的意义，当=时，水渠横断面被水浸湿的周长最小.（2）设水渠高为h，水流横断面积为s，则s=（a+a+2acos）h=(2a+2acos)asin=a2(1+cos)sin(02).s=a2-sin2+(1+cos)cos=a2(2cos-1)(cos+1).令s=0，得cos=或cos=-1（舍），故在（0，）内，当=时，水流横断面积最大，最大值为s=a2(1+cos)sin=.各个击破类题演练 1 已知a、b两地相距200千米，一只船从a地逆水到b地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时（8vv0）.若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v=12千米/时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解：设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k0)，则y1=kv2，当v=12时，y1=720.720=k,122,得k=5.设全程燃料费为y,由题意y=.令y=0,v=16.当v016时，v=16时全程燃料费最省；当v016时，即v(8,v0)时y0，即y在（8,v0上为减函数，当v=v0时，ymin=.综上，当v016时， v=16千米/时全程燃料费最省，为32 000元；当v016时，则v=v0时全程燃料费最省，为.变式提升 1 某种型号的电器降价x成（1成为10%），那么销售数量就增加mx成（mr+）.(1)某商店此种电器的定价为每台a元，则可以出售b台.若经降价x成后，此种电器营业额为y元，试建立y与x的函数关系，并求m=时，每台降价多少成其营业额最大？解：由条件知降价后的营业额为y=a(1-x)b(1+mx)=ab-mx2+(m-1)x+1.当m=时，y=ab(x2+x+1).y=ab(x+).令y=0,x=，即x=时，ymax=ab，即降价0.1成时，营业额最大.类题演练 2 用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接成水箱.问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？解：设水箱底边长为x cm，则水箱高为h=60-(cm).水箱容积v=v（x）=x2h=60x2-(0x120)(cm3).v(x)=120x-x2.令v（x）=0，得x=0(舍)或x=80.当x在（0，120）内变化时，导数v（x）的正负如下表：x(0,80)80(80,120)v(x)+0- 因此在x=80处，函数v（x）取得极大值，并且这个极大值就是函数v（x）的最大值.将x=80代入v（x），得最大容积v=80260-=128 000 (cm3).答：水箱底边长取80 cm时，容积最大.其最大容积为128 000 cm3.变式提升2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？解：设圆柱的高为h，底面半径为r，则表面积s=2rh+2r2,由v=r2h，得h=，则s（r）=2r+2r2=+2r2.令s(r)=+4r=0，得r=，从而h=2,即h=2r,所以当罐的高与底直径相等时，所用材料最省.类题演练3 如下图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从a孔流入，经沉淀后从b孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积成反比.现有制箱材料60平方米，问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（a、b孔的面积忽略不计）？解：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k0为比例系数.依题意，即所求的a、b值使y值最小.根据题设，有4b+2ab+2a=60(a0,b0)得b=(0a30),于是y=,y=0时，a=6或a=-10（舍去）.由于本题只有一个极值点，故a=6，b=3为所求.变式提升3 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边a处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸40 km的b处，乙厂到河岸的垂足d与a相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站c，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站c建在岸边何处才能使水管费用最省？解：设bcd=,则bc=,cd=40cot(0)，ac=50-40cot.设总